Lời giải của Tự Học 365

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD.$

Ta có $AN \bot CD$ mà $\left( {ACD} \right) \bot \left( {BCD} \right)$

$ \Rightarrow AN \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow AN \bot BN \Rightarrow \Delta ANB$ vuông tại N \( \Rightarrow NM = \dfrac{{AB}}{2}\,\,\left( 1 \right)\)

Tam giác $ABC$ cân tại $C,$ có $M$ là trung điểm của $AB$ $ \Rightarrow CM \bot AB.$

Giả sử $\left( {ABC} \right) \bot \left( {ABD} \right)$ mà $CM \bot AB$$ \Rightarrow CM \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow CM \bot DM.$

Khi đó, $\Delta \,MCD$ vuông tại $M$. Ta có \(\Delta ABC = \Delta ABD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow CM = DM \Rightarrow \Delta MCD\) vuông cân tại M.

$ \Rightarrow \,\,MN = \dfrac{{CD}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AB = CD = 2x$

Lại có $\Delta ACD = \Delta BCD\,\,\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow AN = BN = \sqrt {A{C^2} - C{N^2}}  = \sqrt {{a^2} - {x^2}} ,$ mà $A{B^2} = A{N^2} + B{N^2}.$

Suy ra $2\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = 4{x^2} \Leftrightarrow {a^2} = 3{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Đáp án cần chọn là: a