Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy $\left( {ABC} \right)$. Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(M\) là trung điểm của $BC$, suy ra $AM \bot BC$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$
$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}.$
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, suy ra trung tuyến $AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$
Tam giác vuông $SAM$, có $\sin \widehat {SMA} = \dfrac{{SA}}{{SM}} = \dfrac{{SA}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}.$
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
