Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của \(AB\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương pháp giải
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (khác \({90^0}\)) là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right).\) Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(HD\).
Do đó \(\widehat {SD,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {\left( {SD,HD} \right)} = \widehat {SDH}.\)
Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
\(HD = \sqrt {A{H^2} + A{B^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)
Tam giác vuông \(SHD\), có \(\cot \widehat {SDH} = \dfrac{{DH}}{{SH}} = \dfrac{5}{{\sqrt {15} }}.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
