Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a,\) \(AD = a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc \(H\) của \(S\) trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(SH = \dfrac{a}{2}\). Gọi \(M,{\rm{ }}N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC\) và \(SC\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(MN\) với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Phương pháp giải
Sử dụng các mối quan hệ hình học đã biết kết hợp với cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tìm góc giữa \(MN\) với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\).
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(MN\parallel SB\). Do đó \(\widehat {MN,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SB,\left( {ABCD} \right)}\).
Do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(\widehat {MN,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SB,\left( {ABCD} \right)} = \widehat {SB,HB} = \widehat {SBH}\).
Ta có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = 2a\); \(BH = \dfrac{{BD}}{3} = \dfrac{{2a}}{3}\).
Tam giác \(SHB\), có \(\tan \widehat {SBH} = \dfrac{{SH}}{{BH}} = \dfrac{3}{4}\).
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
