Lời giải của Tự Học 365

\({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1 \Rightarrow {u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2}\)

Ta có: \({u_n} = \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - {u_n} = \dfrac{{{u_n} + 1}}{2} - \dfrac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)\)

Tương tự ta có \({u_n} - {u_{n - 1}} = \dfrac{1}{2}\left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right)\)

Tiếp tục như vậy ta được \({u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}\left( {{u_2} - {u_1}} \right)\)

Ta có:  \({u_1} = 2{u_2} - 1 \Rightarrow {u_2} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}}.\left( {\dfrac{3}{2} - 2} \right) =  - \dfrac{1}{{{2^n}}} < 0\) \( \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

\({u_{n + 1}} - {u_n} =  - \dfrac{1}{{{2^n}}} \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}\) .

Mà \({u_n} = 2{u_{n + 1}} - 1\)\( \Rightarrow {u_n} = 2\left( {{u_n} - \dfrac{1}{{{2^n}}}} \right) - 1\)\( \Leftrightarrow {u_n} = 2{u_n} - \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} - 1 \Leftrightarrow {u_n} = 1 + \dfrac{1}{{{2^{n - 1}}}} < 1 + 1 = 2\)

\( \Rightarrow 1 < {u_n} < 2\)

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

Đáp án cần chọn là: b