Lời giải của Tự Học 365

Sáu số hạng đầu tiên của dãy số đó là

\(\begin{array}{l}{a_1} = 1\\{a_2} =  - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_3} =  - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\\{a_4} =  - \dfrac{3}{2}.0 + \dfrac{5}{2}.0 + 1 = 1\\{a_5} =  - \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{2} + 1 = 2\\{a_6} =  - \dfrac{3}{2}.4 + \dfrac{5}{2}.2 + 1 = 0\end{array}\)

Ta thấy cứ sau $3$ số hạng, dãy số trên sẽ bị lặp lại, do đó ta dự đoán \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\)

Chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp toán học :

Đẳng thức đúng với \(n = 1,{a_1} = {a_4} = 1\).

Giả sử đẳng thức đúng với $n = k$, tức là \({a_{k + 3}} = {a_k}\) , ta cần chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, tức là cần chứng minh \({a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}{a_{k + 4}} =  - \dfrac{3}{2}a_{k + 3}^2 + \dfrac{5}{2}{a_{k + 3}} + 1\\{a_{k + 1}} =  - \dfrac{3}{2}a_k^2 + \dfrac{5}{2}{a_k} + 1\end{array}\)

Mà \({a_{k + 3}} = {a_k} \Rightarrow {a_{k + 4}} = {a_{k + 1}}\), vậy \({a_{n + 3}} = {a_n}\,\,\forall n \ge 1\).

Tổng quát ${a_{3n + m}} = {a_m},\forall m,n \in {N^*}$

Ta lại có $2018 = 3.672 + 2$.

Từ đó suy ra \({a_{2018}} = {a_2}\).

Đáp án cần chọn là: a