Lời giải của Tự Học 365

Ta có \(y = \dfrac{{k\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\)\( \Leftrightarrow y.\cos x + 2y = k.\sin x + 1\)\( \Leftrightarrow y.\cos x - k.\sin x = 1 - 2y\)  (*)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có \({\left( {y.\cos x - k.\sin x} \right)^2} \le \left( {{y^2} + {k^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = {y^2} + {k^2}\)

Kết hợp với điều kiện (*), ta được \({\left( {1 - 2y} \right)^2} \le {y^2} + {k^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {k^2} \le 0\)\( \Leftrightarrow 3{\left( {y - \dfrac{2}{3}} \right)^2} \le {k^2} + \dfrac{1}{3}\)

$ \Leftrightarrow y - \dfrac{2}{3} \ge  - \sqrt {\dfrac{{3{k^2} + 1}}{9}} $$ \Leftrightarrow y \ge \dfrac{2}{3} - \sqrt {\dfrac{{3{k^2} + 1}}{9}} $$ \Rightarrow \min y = \dfrac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3}$

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \min y >  - 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{k^2} + 1} }}{3} >  - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3{k^2} + 1}  < 5 \Leftrightarrow \left| k \right| < 2\sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: d