Biết rằng \(a + b = 4\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn. Tính giới hạn $L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{b}{{1 - {x^3}}} - \dfrac{a}{{1 - x}}} \right)$.
Phương pháp giải
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Tìm điều kiện để hàm số có giới hạn hữu hạn suy ra \(a,b\).
- Với \(a,b\) tìm được ở trên thì tính giới hạn hàm số có được
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{1 - {x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{a + ax + a{x^2} - b}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}.\)
Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\) hữu hạn \( \Leftrightarrow 1 + a.1 + a{.1^2} - b = 0 \Leftrightarrow 2a - b = - 1.\)
Vậy ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\2a - b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow L = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,\,\left( {\dfrac{a}{{1 - x}} - \dfrac{b}{{1 - {x^3}}}} \right)\)
\( = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{ - \left( {x + 2} \right)}}{{1 + x + {x^2}}} = 1\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
