Cho hàm số $f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Phương pháp giải
- Nhân liên hợp để khử dạng $\infty - \infty $
- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của $x$ bậc cao nhất.
- Thay giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \dfrac{C}{{{x^n}}} = 0,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}$.
Lời giải của Tự Học 365
$f(x) = \sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} $
Ta có:
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{4}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = 2\end{array}$
$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} - \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{({x^2} + 2x + 4) - ({x^2} - 2x + 4)}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} + \sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{4x}}{x}}}{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 2x + 4} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 4} }}{x}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{4}{{ - \sqrt {1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{{{x^2}}}} }} = \dfrac{4}{{ - 1 - 1}} = - 2\end{array}$
$ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) =- \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$.
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
