Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1;2;3)\)và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (khác O). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho M là trực tâm của tam giác ABC.
Phương pháp giải
- Sử dụng tính chất tứ diện vuông: Tứ diện \(O.ABC\) vuông tại \(O\) thì hình chiếu của \(O\) lên \(\left( ABC \right)\) chính là trực tâm tam giác đáy.
- Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( a;b;c \right)\) làm véc tơ pháp tuyến thì có phương trình:
\(a\left( x-{{x}_{0}} \right)+b\left( y-{{y}_{0}} \right)+c\left( z-{{z}_{0}} \right)=0\)
Lời giải của Tự Học 365
Do M là trực tâm tam giác ABC \(\Rightarrow AM\bot BC\)
Mà \(OA\bot BC\,\,(do\,\,OA\bot (OBC))\)
\(\Rightarrow BC\bot (OAH)\Rightarrow BC\bot OM\) (1)
Tương tự, ta chứng minh được \(AB\bot OM\,\,(2)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow OM\bot (ABC)\)
\(\Rightarrow (P)\) nhận \(\overrightarrow{OM}=\left( 1;2;3 \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P): \(1.(x-1)+2.(y-2)+3.(z-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
