Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y - 4}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và 2 điểm \(A\left( {6;3; - 2} \right)\); \(B\left( {1;0; - 1} \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(B\), vuông góc với \(d\) và thỏa mãn khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất. Một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) có tọa độ :
Phương pháp giải
+) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\). \(\Delta \) đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)\).
+) Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).
+) Do đó để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất \( \Rightarrow H \in \Delta \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow {BH} \) là 1 VTCP.
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \left( P \right):\,\,2x + y + z - 1 = 0\).
\(\Delta \) đi qua \(B\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)\).
Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) ta có \(AH \le AK\).
Do đó để khoảng cách từ \(A\) đến \(\Delta \) là nhỏ nhất \( \Rightarrow H \in \Delta \).
Phương trình \(AH\) đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1;1} \right)\) là 1 VTCP là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + 2t\\y = 3 + t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}H \in AH \Rightarrow H\left( {6 + 2t;3 + t; - 2 + t} \right)\\H \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {6 + 2t} \right) + 3 + t - 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2\\ \Rightarrow H\left( {2;1; - 4} \right)\end{array}\)
\(\Delta \) đi qua \(B,\,\,H\) nhận \(\overrightarrow {BH} \left( {1;1; - 3} \right)\) là 1 VTCP.
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
