Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(M\left( { - 2; - 2;1} \right),A\left( {1;2; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{2} = \dfrac{z}{{ - 1}}.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(M,\) vuông góc với đường thẳng \(d,\) đồng thời cách điểm \(A\) một khoảng bé nhất. Khoảng cách bé nhất đó là
Phương pháp giải
+ Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d.\)
+ Khi đó \(d\left( {A,\Delta } \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)
+ Tính khoảng cách \(d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)
Lời giải của Tự Học 365
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\left( { - 2; - 2;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\) làm VTPT
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):2\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y + 2} \right) - \left( {z - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 9 = 0\)
Suy ra \(\Delta \subset \left( P \right)\). Khi đó ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) \ge d\left( {A,\left( P \right)} \right)\)
Lại có \(d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 2.2 - \left( { - 3} \right) + 9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 6\)
Vậy khoảng cách nhỏ nhất là \(d = 6.\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
