Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho \(d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 3}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 2}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + z - 4 = 0\). Phương trình hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là:
Phương pháp giải
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Lời giải của Tự Học 365
Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 3;2; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {4; - 1; - 7} \right)\)
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\left( {1;3;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 1; - 7} \right)\) làm VTPT nên \(\left( Q \right):4\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) - 7\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y - 7z + 6 = 0\)
Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right),\left( Q \right)\).
Dễ thấy điểm \(\left( {0; - 1;1} \right)\) thuộc cả hai mặt phẳng và \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;1;1} \right)\)
Do đó \(d'\) đi qua \(A\left( {0; - 1;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;1;1} \right)\).
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
