Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét mặt cầu $\left( S \right)$ đi qua hai điểm $A\left( {1;2;1} \right);B\left( {3;2;3} \right)$, có tâm thuộc mặt phẳng $\left( P \right):x - y - 3 = 0$ , đồng thời có bán kính nhỏ nhất, hãy tính bán kính $R$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$?
Phương pháp giải
+ Gọi tâm $\left( S \right)$ là $I\left( {a;b;c} \right)$
+ Tìm mối quan hệ của $a,b,c$ để biến đổi về 1 ẩn, sau đó đánh giá tìm min của $R$.
Lời giải của Tự Học 365
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right),I\left( {a,b,c} \right)$ . Suy ra \(a - b - 3 = 0 \Rightarrow a = b + 3 \Rightarrow I(b + 3;b;c)\)
\(I{A^2} = I{B^2} = {R^2} \Leftrightarrow {(b + 2)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 1)^2} = {b^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\)
Rút gọn ta được $c = 1 - 2b$
\({R^2} = {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( { - 2b} \right)^2} = 6{b^2} + 8 \ge 8 \Rightarrow R \ge 2\sqrt 2 \)
\(\min R = 2\sqrt 2 \) khi $b = 0$
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
