Có bao nhiêu mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta :\frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{-2}\) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x + 2y + z - 6 = 0\) và \(\left( {{\alpha }_{2}} \right):x-2y+2z=0\)
Phương pháp giải
Tham số hóa tọa độ tâm mặt cầu và sử dụng điều kiện tiếp xúc khi khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu
Lời giải của Tự Học 365
Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)
Gọi tâm \(I \in \Delta \)\( \Rightarrow I\left( {3 + 2t;1 - t;1 - 2t} \right)\)
Vì mặt cầu \(\left( S \right)\) đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha }_{1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right)\) nên \(d\left( I,\left( {{\alpha }_{1}} \right) \right)\)\(=d\left( I,\left( {{\alpha }_{2}} \right) \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {1 - t} \right) + 1 - 2t - 6} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}\)\( = \frac{{\left| {3 + 2t - 2\left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 - 2t} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^1}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| 3 \right|}}{3} = \frac{{\left| 3 \right|}}{3}\) (luôn đúng).
Vậy có vô số mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt phẳng.
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
