Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+10y-2z-6=0\). Cho \(m \) là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(y=m\) và \(x+z-3=0\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Tích tất cả các giá trị mà \(m\) có thể nhận được bằng:
Phương pháp giải
+) Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đã cho.
+) Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R\) với I; R là tâm và bán kính của mặt cầu (S).
Lời giải của Tự Học 365
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 2;-5;1 \right)\) bán kính \(R=\sqrt{4+25+1+6}=6\)
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(y=m\) và \(x+z-3=0\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
y = m\\
x + z - 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = m\\
z = 3 - t
\end{array} \right.\,\,\left( d \right) \Rightarrow \) Đường thẳng (d) đi qua \(M\left( 0;m;3 \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 1;0;-1 \right)\)
Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\Leftrightarrow d\left( I;d \right)=R\)
\( \Rightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 5 = 6\\
m + 5 = - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m = - 11
\end{array} \right.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
