Cho \(x>0,\,\,y>0\). Viết biểu thức \({{x}^{\frac{4}{5}}}\sqrt[6]{{{x}^{5}}\sqrt{x}}\) về dạng \({{x}^{m}}\) và biểu thức \({{y}^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y}^{5}}\sqrt{y}}\) về dạng \({{y}^{n}}\). Ta có \(m-n=?\)
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức: \({{x}^{m}}.{{x}^{n}}={{x}^{m+n}};\,\,\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}},\,\,{{\left( {{x}^{m}} \right)}^{n}}={{x}^{m.n}}\) (giả sử các biểu thức là có nghĩa).
Lời giải của Tự Học 365
\({{x}^{\frac{4}{5}}}\sqrt[6]{{{x}^{5}}\sqrt{x}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}}}\sqrt[6]{{{x}^{5}}{{x}^{\frac{1}{2}}}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}}}\sqrt[6]{{{x}^{5+\frac{1}{2}}}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}}}{{\left( {{x}^{\frac{11}{2}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}}}{{x}^{\frac{11}{2}.\frac{1}{6}}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}}}{{x}^{\frac{11}{12}}}\) \(={{x}^{\frac{4}{5}+\frac{11}{12}}}\) \(={{x}^{\frac{103}{60}}}={{x}^{m}}\) \(\Rightarrow m=\dfrac{103}{60}\)
\(\begin{align}{{y}^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y}^{5}}\sqrt{y}}={{y}^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y}^{5}}{{y}^{\frac{1}{2}}}}\\={{y}^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y}^{5+\frac{1}{2}}}}\\={{y}^{\frac{4}{5}}}:{{\left( {{y}^{\frac{11}{2}}} \right)}^{\frac{1}{6}}}={{y}^{\frac{4}{5}}}:{{y}^{\frac{11}{2}.\frac{1}{6}}}\\={{y}^{\frac{4}{5}}}:{{y}^{\frac{11}{12}}}={{y}^{\frac{4}{5}-\frac{11}{12}}}\\={{y}^{-\frac{7}{60}}}={{y}^{n}}\\\Rightarrow n=-\frac{7}{60} \\ \Rightarrow m-n=\frac{103}{60}-\frac{-7}{60}=\frac{11}{6} \\ \end{align}\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
