Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {4;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {1;4} \right).\) Tìm \(m\) để vectơ \(\overrightarrow a = m.\overrightarrow u + \overrightarrow v \) tạo với vectơ \(\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j \) một góc \({45^0}.\)
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính góc của hai véc tơ \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}\)
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a = m.\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4m + 1;m + 4} \right)\\\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right)\end{array} \right..\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 \ge 0}\\{25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{4}\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
