Cho ba số thực \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) không âm và thỏa mãn ${a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = 4$. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $S = {a^2} + {b^2} + {c^2}$ lần lượt là:
Phương pháp giải
- Áp dụng bất đẳng thức Cô – si đánh giá \(abc\) theo \(S\).
- Thay điều kiện ở trên vào đẳng thức bài cho thu được bất phương trình ẩn \(S\).
- Giải bất phương trình tìm được GTNN và GTLN của \(S\).
Lời giải của Tự Học 365
Từ giả thiết suy ra ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 4.$
Ta có $4 = {a^2} + {b^2} + {c^2} + abc = {a^2} + {b^2} + {c^2} + \sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} .$
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}} \ge {a^2}{b^2}{c^2}\).
Từ đó suy ra $4 \le {a^2} + {b^2} + {c^{2}} + \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^3}}}{{27}}} $hay\(\sqrt {\dfrac{{{S^3}}}{{27}}} \ge 4 - S \Leftrightarrow 3 \le S \le 4.\)
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
