Cho ba số thực dương \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\). Biểu thức $P = \dfrac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}}$ có giá trị nhỏ nhất bằng:
Phương pháp giải
Nhân \(P\) với \(2\) rồi tách nhóm các số hạng thích hợp, áp dụng bất đẳng thức Cô – si đánh giá \(P\).
Lời giải của Tự Học 365
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có
\({x^2} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}} \ge 3.\sqrt[3]{{{x^2}.\dfrac{y}{{zx}}.\dfrac{z}{{xy}}}} = 3;\)\({y^2} + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{z}{{xy}} \ge 3;\) \({z^2} + \dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} \ge 3\)
Cộng từng vế của ba bất đẳng thức trên, ta được ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {\dfrac{x}{{yz}} + \dfrac{y}{{zx}} + \dfrac{z}{{xy}}} \right) \ge 9$.
Suy ra \(P \ge \dfrac{9}{2}\). Khi $x = y = z = 1$ thì \(P = \dfrac{9}{2}.\)
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
