Cho $a,b,c > 0$. Xét các bất đẳng thức sau:
(I) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2$
(II) $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3$
(III) $\left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4$
Bất đẳng thức nào đúng?
Phương pháp giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si \(x + y \ge 2\sqrt {xy} \) với \(x,y > 0\) để xét tính đúng, sai cho các bất đẳng thức.
Lời giải của Tự Học 365
Ta có: \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} = 2 \Rightarrow \left( I \right)\) đúng;
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}} = 3 \Rightarrow \left( {II} \right)\)đúng;
$\left. \begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{ab}}} \end{array} \right\}$$ \Rightarrow \left( {a + b} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \right) \ge 4$$ \Rightarrow (III)$ đúng.
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
