Lời giải của Tự Học 365

Gọi \(A\left( a;\frac{a-1}{2a} \right);\ \,B\left( b;\frac{b-1}{2b} \right)\,\,\,\left( a e b \right)\). Ta có \(y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}\,\,\xrightarrow{{}}\,\,{y}'=\frac{1}{2{{x}^{2}}};\,\,\forall x e 0.\)

Theo bài ra, ta có \({y}'\left( a \right)={y}'\left( b \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2{{a}^{2}}}=\frac{1}{2{{b}^{2}}}\Rightarrow \,\,a=-\,b\) (vì \(a e b\)).

Suy ra \(A,\,\,B\) đối xứng nhau qua tâm đối xứng \(I\left( 0;\frac{1}{2} \right).\)

Phương trình tiếp tuyến của\(\left( C \right)\) tại A là \(\left( d \right):y=\frac{1}{2{{a}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a-1}{2a}\)

Khoảng cách giữa 2 tiếp tuyến là \(d=2\,\,\times \,\,d\left( I;\left( d \right) \right)=\frac{\frac{2}{\left| a \right|}}{\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}}\le \frac{2}{\left| a \right|}:\sqrt{\frac{1}{{{a}^{2}}}}=2\).

Vì theo bất đẳng thức AM – GM, ta được \(\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1\ge 2\sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{4{{a}^{4}}}+1}\le \frac{1}{\left| a \right|}.\)

Vậy khoảng cách lớn nhất giữa tiếp tuyến \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(2.\)

Đáp án cần chọn là: c