Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\) có đồ thị \((C)\). Tìm giá trị thực của tham số k để tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt với đồ thị \((C)\) có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó với \((C)\) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OB = 2018OA.
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ hai tiếp điểm \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\), (\({{x}_{1}} e {{x}_{2}}\)).
- Sử dụng điều kiện hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc suy ra mối quan hệ \({x_1},{x_2}\).
- Sử dụng điều kiện \(OB\; = 2018OA\) suy ra hệ số góc của \(AB\) là \(\frac{{{y_2} - {y_1}}}{{{x_2} - {x_1}}} = \pm 2018\).
Lời giải của Tự Học 365
TXĐ: \(D=R\)
\(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}+6x+9\)
Gọi \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\,\,N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\), (\({{x}_{1}} e {{x}_{2}}\)) là 2 tiếp điểm.
\(M,N\in \left( C \right)\Rightarrow {{y}_{1}}={{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3,\,\,\,{{y}_{2}}={{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3\)
Tiếp tuyến tại M, N của (C) có hệ số góc đều bằng k \(\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}+9=k\)
\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-2{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-{{x}_{1}}-2\)
Theo đề bài, ta có: OB = 2018OA \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc bằng 2018 hoặc – 2018.
TH1: Phương trình đường thẳng MN có hệ số góc là 2018 \(\Rightarrow \frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=2018\Leftrightarrow {{y}_{2}}-{{y}_{1}}=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\)
\(\begin{align} \Leftrightarrow \left( {{x}_{2}}^{3}+3{{x}_{2}}^{2}+9{{x}_{2}}+3 \right)-\left( {{x}_{1}}^{3}+3{{x}_{1}}^{2}+9{{x}_{1}}+3 \right)=2018({{x}_{2}}-{{x}_{1}}) \\ \Leftrightarrow ({{x}_{2}}-{{x}_{1}})({{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009)=0 \\ \Leftrightarrow {{x}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{x}_{1}}+{{x}_{1}}^{2}+3{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}-2009=0,\,\,do\,\,{{x}_{2}} e {{x}_{1}} \\ \Leftrightarrow {{({{x}_{2}}+{{x}_{1}})}^{2}}+3({{x}_{2}}+{{x}_{1}})-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0 \\ \Rightarrow {{(-2)}^{2}}+3.(-2)-{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2009=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2011 \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow {{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \({{X}^{2}}+2X-2011=0\)
\(\Rightarrow {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}-2011=0\Leftrightarrow 3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)
\(\Rightarrow k=3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}+9=6042\)
TH2: MN có hệ số góc là 2018. Dễ đang kiểm rằng : Không có giá trị của \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) thỏa mãn.
Vậy k = 6042.
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
