Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)$.Tồn tại hai tiếp tuyến của $(C)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA = 2017.OB.$ Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Phương pháp giải
Ta có tính chất sau: Mọi đường thẳng nối các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến cùng hệ số góc của đồ thị hàm số bậc ba luôn đi qua điểm uốn của đồ thị hàm số đó
(điểm uốn là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có hoành độ là nghiệm của phương trình $y''=0$)
Lời giải của Tự Học 365
Ta có $y' = 3{x^2} + 12x + 9;y'' = 6x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = -2$
Điểm uốn của đồ thị hàm số là $U\left( -2;1 \right)$
Xét đường thẳng $d$ đi qua $U\left( -2;1 \right)$ có phương trình $y = {k_d}\left( {x + 2} \right) + 1$ hay $y = {k_d}x + 2{k_d} + 1$
$d$ cắt $Ox, Oy$ lần lượt tại $A\left( { - \dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}};0} \right),B\left( {0;2{k_d} + 1} \right)$
$OA = 2017.OB \Leftrightarrow \left| {\dfrac{{2{k_d} + 1}}{{{k_d}}}} \right| = 2017\left| {2{k_d} + 1} \right| \Leftrightarrow {k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}};{k_d} = - \dfrac{1}{2}$
Nếu ${k_d} = - \dfrac{1}{2}$ thì $y = - \dfrac{1}{2}x$ nên $A \equiv B$ (loại)
Khi đó ta có hệ số góc của $d$ là ${k_d} = \pm \dfrac{1}{{2017}}$
Do đó có 2 đường thẳng $d$ thỏa mãn
Từ đó suy ra có $2$ giá trị $k$ thỏa mãn bài toán.
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
