Họ parabol \(\left( {{P}_{m}} \right):\,y=m{{x}^{2}}-2\left( m-3 \right)x+m-2\,\left( m e 0 \right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(d\) cố định khi \(m\) thay đổi. Đường thẳng \(d\) đó đi qua điểm nào dưới đây?
Phương pháp giải
Sử dụng điều kiện để hai đồ thị hàm số tiếp xúc (phương trình bậc hai có nghiệm kép) đưa về biện luận phương trình bậc nhất có vô số nghiệm
Lời giải của Tự Học 365
Giả sử \(y=ax+b\) là đường thẳng cố định mà \(\left( {{P}_{m}} \right)\) luôn đi qua.
\(\Leftrightarrow m{{x}^{2}}-2\left( m-3 \right)x+m-2\,=ax+b\) có nghiệm kép với mọi \(m e 0\) .
\(\Leftrightarrow m{{x}^{2}}+\left( 6-2m-a \right)x+m-2\,-b=0\) có nghiệm kép với mọi \(m e 0\) .
\(\Leftrightarrow \Delta =m\left( 4a+4b-16 \right)+{{a}^{2}}-12a+36=0\) nghiệm đúng với mọi \(m e 0\) .
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4a + 4b - 16 = 0\\
{a^2} - 12a + 36 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 6\\
b = - \,2
\end{array} \right.\)
. Vậy đường thẳng cần tìm là \(y=6x-2\).
Do đó, đường thẳng \(d\) đi qua điểm có tọa độ \(\left( 0;-\,2 \right).\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
