Tập hợp các điểm \(M\) biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4\) là:
Phương pháp giải
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x;y} \right)\).
Bước 2: Thay \(z = x + yi\) vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa \(x,y\).
Bước 3: Kết luận:
- Phương trình đường thẳng: \(Ax + By + C = 0\)
- Phương trình đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)
- Phương trình parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) hoặc \(x = a{y^2} + by + c\)
- Phương trình elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Lời giải của Tự Học 365
Gọi $z = x + yi\,\,\,\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).$
Ta có \(\left| {z - i} \right| + \left| {z + i} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = 4\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = 4 - \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \le 4\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 16 + {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} - 8\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 16\\2\sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = y + 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \le 16\\y \ge - 4\\4{x^2} + 3{y^2} = 12\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} \le 16}&{\left( 1 \right)}\\{y \ge - 4}&{\left( 2 \right)}\\{\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1}&{\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)
Tập hợp các điểm thỏa mãn \(\left( 3 \right)\) đều thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\).
Vậy tập hợp những điểm \(M\) là elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{3} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1.\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
