Xét các số xyz thay đổi thỏa mãn x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
Câu hỏi
Nhận biếtXét các số \(x,\,\,y,\,\,z\) thay đổi thỏa mãn \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \frac{1}{2}{\left( {x + y + z} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right).\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có: \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx} \right) = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right)} \right] = 4\\ \Leftrightarrow \left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {y - z} \right)}^2} + {{\left( {z - x} \right)}^2}} \right] = 4\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x,\,\,y,\,\,z\)
\( \Rightarrow x + y + z > 0.\)
Đặt \(x + y + z = t\,\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - yz - zx = \frac{2}{t}.\)
\( \Rightarrow P = \frac{1}{2}{t^2} + \frac{8}{t} = \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{4}{t} + \frac{4}{t}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(\frac{{{t^2}}}{2};\,\,\frac{4}{t};\,\,\frac{4}{t}\) ta có:
\(P = \frac{{{t^2}}}{2} + \frac{4}{t} + \frac{4}{t} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{t^2}}}{2}.\frac{4}{t}.\frac{4}{t}}} = 3.\sqrt[3]{8} = 6.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{{t^2}}}{2} = \frac{4}{t} \Leftrightarrow {t^3} = 8 \Leftrightarrow t = 2\) \( \Rightarrow x + y + z = 2.\)
Vậy \(Min\,\,P = 6\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\{x^3} + {y^3} + {z^3} - 3xyz = 2\end{array} \right..\)
Chọn C.
