vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nh
Câu hỏi
Nhận biếtTừ một điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với \(AC\;\;\left( {I \in AB,K \in AC} \right).\)
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP vuông góc với \(BC\;\;\left( {P \in BC} \right).\) Chứng minh \(\angle MPK = \angle MBC\).
c) Chứng minh rằng \(MI.MK = M{P^2}\).
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}MI \bot AB\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AIM = {90^0}\\MK \bot AC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AKM = {90^0}\end{array} \right.\)
Tứ giác AIMK có: \(\angle AIM + \angle AKM = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (dhnb).
b) Vẽ MP vuông góc với BC (\(P \in BC\)). Chứng minh \(\angle MPK = \angle MBC\).
Ta có: \(MP \bot BC\;\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle MPC = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle MPC + \angle MKC = {180^o}\)
\( \Rightarrow \) CPMK là tứ giác nội tiếp (dhnb).
\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MCK\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
Mặt khác \(\angle MCK = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
\( \Rightarrow \angle MPK = \angle MBC\;\;\left( { = \angle MCK} \right)\) (đpcm)
c) Chứng minh rằng \(MI.MK = M{P^2}\).
Ta có: \(\angle MIB + \angle MPB = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) BPMI là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MBC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Mà \(\angle MPK = \angle MBC\) (cm b)
\( \Rightarrow \angle MIP = \angle MPK\;\;\left( { = \angle MBC} \right)\)
Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: \(\angle MPI = \angle MKP\;\;\left( { = \angle MCB = \angle MBI} \right)\)
Xét \(\Delta MIP\) và \(\Delta MPK\) có:
\(\begin{array}{l}\angle MIP = \angle MPK\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle MPI = \angle MKP\;\;\;\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta MIP \sim \Delta MPK\;\;\left( {g - g} \right)\)
\( \Rightarrow \frac{{MI}}{{MP}} = \frac{{MP}}{{MK}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2}\) (đpcm)
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(MI.MK = M{P^2}\) (cm c) \( \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)
\( \Rightarrow \) Để tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) MP lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của O trên BC \( \Rightarrow OH\) là hằng số (do BC cố định)
Gọi \(MO \cap BC = \left\{ D \right\}\), ta có \(MP \le MD\,\,;\,\,OH \le OD\)
\( \Rightarrow MP + OH \le MD + OD = MO \Rightarrow MP + OH \le R \Rightarrow MP \le R - OH\)
\( \Rightarrow \) MP lớn nhất bằng \(R - OH \Leftrightarrow O,\;H,\;M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC
Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích \(MI.MK.MP\) đạt giá trị lớn nhất.
