vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nh
Câu hỏi
Nhận biếtTừ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC(I∈AB,K∈AC).
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP vuông góc với BC(P∈BC). Chứng minh ∠MPK=∠MBC.
c) Chứng minh rằng MI.MK=MP2.
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn.
Ta có : {MI⊥AB(gt)⇒∠AIM=900MK⊥AC(gt)⇒∠AKM=900
Tứ giác AIMK có: ∠AIM+∠AKM=180o
⇒ AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM (dhnb).
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P∈BC). Chứng minh ∠MPK=∠MBC.
Ta có: MP⊥BC(gt)⇒∠MPC=900
⇒∠MPC+∠MKC=180o
⇒ CPMK là tứ giác nội tiếp (dhnb).
⇒∠MPK=∠MCK (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
Mặt khác ∠MCK=∠MBC (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
⇒∠MPK=∠MBC(=∠MCK) (đpcm)
c) Chứng minh rằng MI.MK=MP2.
Ta có: ∠MIB+∠MPB=900+900=1800
⇒ BPMI là tứ giác nội tiếp (dhnb)
⇒∠MIP=∠MBC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MP)
Mà ∠MPK=∠MBC (cm b)
⇒∠MIP=∠MPK(=∠MBC)
Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được: ∠MPI=∠MKP(=∠MCB=∠MBI)
Xét ΔMIP và ΔMPK có:
∠MIP=∠MPK(cmt)∠MPI=∠MKP(cmt)
⇒ΔMIP∼ΔMPK(g−g)
⇒MIMP=MPMK⇒MI.MK=MP2 (đpcm)
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Ta có MI.MK=MP2 (cm c) ⇒MI.MK.MP=MP3
⇒ Để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất ⇔ MP lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của O trên BC ⇒OH là hằng số (do BC cố định)
Gọi MO∩BC={D}, ta có MP≤MD;OH≤OD
⇒MP+OH≤MD+OD=MO⇒MP+OH≤R⇒MP≤R−OH
⇒ MP lớn nhất bằng R−OH⇔O,H,M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC
Vậy khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC thì tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
