Chứng minh rằng: K = 10^n + 72n - 1 chia hết cho 81.
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng: \(K = {10^n} + 72n - 1\) chia hết cho \(81.\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}K = {10^n} + 72n - 1 = {10^n} - 1 + 72n\\\,\,\,\,\,\, = \left( {10 - 1} \right)\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right] + 72n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1} \right] - 9n + 81n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1 - n} \right] + 81n\\\,\,\,\,\,\, = 9.\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)} \right] + 81n\end{array}\)
Ta có: \({10^n} - 1 = \left( {10 - 1} \right)\left[ {{{10}^{n - 1}} + ... + 10 + 1} \right]\,\, \vdots \,\,9\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{10^{n - 1}} - 1\,\,\, \vdots \,\,9\\{10^{n - 2}} - 1\,\, \vdots \,\,9\\......\\10 - 1\,\, \vdots \,\,9\end{array} \right. \Rightarrow \left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)\,\, \vdots \,\,9\\ \Rightarrow 9.\left[ {\left( {{{10}^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{{10}^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {10 - 1} \right) + \left( {1 - 1} \right)} \right]\,\,\, \vdots \,\,81\\ \Rightarrow 9\left[ {{{10}^{n - 1}} + {{10}^{n - 2}} + ... + 10 + 1 - n} \right] + 81n\,\, \vdots \,\,81\end{array}\)
Vậy \(K = {10^n} + 72n - 1\,\, \vdots \,\,81\) (đpcm).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Viết kết quả của phép tính \({27^{16}}:{9^{10}}\) dưới dạng lũy thừa:
-
Cách tính đúng của phép tính \({4^4}:{4^3}\) là:
-
Tìm \(4\) số tự nhiên liên tiếp mà tổng bằng \(2010.\)
-
Phép toán \({6^2}:4.3 + {2.5^2}\) có kết quả là:
-
Viết liên tiếp các số từ \(1\) đến \(9999\) ta được số \(123…99999\). Tìm tổng các chữ số của số đó.
-
Biết \({5^{x - 3}} = 25\) . Giá trị của \(x\) là:
-
Tìm \(x\):
\(a)\,\,\,\,{\left( {7x - 11} \right)^3} = {2^5}{.5^2} + 200\)
\(b)\,\,\,\,\,{5^{x - 2}} - {3^2} = {2^4} - \left( {{6^8}:{6^6} - {6^2}} \right)\)
-
Tính bằng cách hợp lí (nếu có thể) :
\(\begin{array}{*{20}{l}}{A = \left( {6888:56-{{11}^2}} \right).152 + 13.72 + 13.28}\\{B = \left[ {5082:\left( {{{17}^{29}}:{{17}^{27}}-{{16}^2}} \right) + 13.12} \right]:31 + {9^2}}\end{array}\)
-
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất \(600\) sản phẩm. Do cải tiến kĩ thuật nên tổ \(I\) đã vượt mức \(18\% \) và tổ \(II\) vượt mức \(21\% \) . Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức \(120\) sản phẩm. Hỏi sản phẩm tổ \(I\) và tổ \(II\) được giao theo kế hoạch là bao nhiêu?
-
Tìm \(x\) biết:
\(\begin{array}{l}a)\;\left( {2x-130} \right):4 + 213 = {5^2} + 193\\b)\left( {{5^2} + {3^2}} \right)x + \left( {{5^2}-{3^2}} \right)x-50 = {10^2}\end{array}\)