Cho biểu thức P = a^4 + b^4 - ab với ab là các số thực thỏa mãn a^2 + b^2 + ab = 3. Tìm giá trị lớn
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\)
Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le 1\)
Lại có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 \ge - ab \Leftrightarrow ab \ge - 3\)
\( \Rightarrow - 3 \le ab \le 1\).
Xét \({a^2} + {b^2} = 3 - ab\) với \( - 3 \le ab \le 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = {\left( {3 - ab} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = 9 - 6ab + {a^2}{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9\end{array}\)
Khi đó \(P = {a^4} + {b^4} - ab = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9 - ab\) \( = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \frac{{85}}{4} - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2}\)
Vì \( - 3 \le ab \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2} \le ab + \frac{7}{2} \le \frac{9}{2} \Leftrightarrow {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \le \frac{{81}}{4}\).
Suy ra \(P = \frac{{85}}{4} - {\left( {ab + \frac{7}{2}} \right)^2} \ge \frac{{85}}{4} - \frac{{81}}{4} = 1 \Leftrightarrow P \ge 1\).
Dấu “=” xảy ra khi \(ab = 1\) và \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;\,\,b = 1\\a = - 1;\,\,b = - 1\end{array} \right.\)
Ta lại có \(P = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) + 21\)
Mà \( - 3 \le ab \le 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}ab + 3 \ge 0\\ - ab - 4 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) \le 0 \Rightarrow P \le 21\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{a^2} + {b^2} + ab = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{\left( {a + b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = - \sqrt 3 \\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(21\); giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1.\)
Chọn A.
