a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x^2 + 2y^2 - 2xy - 4x +
Câu hỏi
Nhận biếta) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x2+2y2−2xy−4x+8y+7=0.
b) Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
ab(b2+bc+ac)+bc(c2+ca+ab)+ac(a2+ab+bc)≤(ab+bc+ac)(a2+b2+c2)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Xem đây là phương trình bậc hai có biến x và tham số y:
x2−2x(y+2)+2y2+8y+7=0Δ′=(y+2)2−(2y2+8y+7)=−y2−4y−3≥0⇔(y+3)(y+1)≤0⇔−3≤y≤−1.
Do x, y là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:
TH1: y=−3 nên thay vào phương trình ban đầu ta có ngay x2+2x+1=0⇔x=−1.
TH2: y=−2 nên thay vào phương trình ban đầu ta có: x2−1=0⇔x=±1.
TH3: y=−1 nên thay vào phương trình ban đầu ta có: x2−2x+1=0⇔x=1.
Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: ( -3; -1); ( -2; - 1); ( -2; 1); ( -1; 1).
b) Biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
ab(b2+bc+ac)+bc(c2+ca+ab)+ac(a2+ab+bc)≤(ab+bc+ac)(a2+b2+c2)⇔ab3+bc3+ca3+2abc(a+b+c)≤ab3+bc3+ca3+ab(a2+c2)+bc(a2+b2)+ca(b2+c2)⇔2abc(a+b+c)≤ab(a2+c2)+bc(a2+b2)+ca(b2+c2).
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm ta có:
ab(a2+c2)≥ab.2ac=2a2bcbc(a2+b2)≥2bc.ab=2ab2cca(b2+c2)≥ca.2bc=2abc2⇒VP≥2a2bc+2ab2c+2abc2=2abc(a+b+c).
Dấu bằng xảy ra ⇔a=b=c.
