a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x^2 + 2y^2 - 2xy - 4x +
Câu hỏi
Nhận biếta) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: \({x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x + 8y + 7 = 0.\)
b) Cho 3 số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
\(ab\left( {{b^2} + bc + ac} \right) + bc\left( {{c^2} + ca + ab} \right) + ac\left( {{a^2} + ab + bc} \right) \le \left( {ab + bc + ac} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Xem đây là phương trình bậc hai có biến x và tham số y:
\(\eqalign{ & {x^2} - 2x(y + 2) + 2{y^2} + 8y + 7 = 0 \cr & \Delta ' = {(y + 2)^2} - (2{y^2} + 8y + 7) = - {y^2} - 4y - 3 \ge 0 \Leftrightarrow (y + 3)(y + 1) \le 0 \cr & \Leftrightarrow - 3 \le y \le - 1. \cr} \)
Do x, y là các số nguyên nên ta có các trường hợp sau:
TH1: \(y=-3\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có ngay \({x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1.\)
TH2: \(y = -2\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
TH3: \(y =-1\) nên thay vào phương trình ban đầu ta có: \({x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)
Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: ( -3; -1); ( -2; - 1); ( -2; 1); ( -1; 1).
b) Biến đổi thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\eqalign{ & ab({b^2} + bc + ac) + bc({c^2} + ca + ab) + ac({a^2} + ab + bc) \le (ab + bc + ac)({a^2} + {b^2} + {c^2}) \cr & \Leftrightarrow a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + 2abc(a + b + c) \le a{b^3} + b{c^3} + c{a^3} + ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2}) \cr & \Leftrightarrow 2abc(a + b + c) \le ab({a^2} + {c^2}) + bc({a^2} + {b^2}) + ca({b^2} + {c^2}). \cr} \)
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số không âm ta có:
\(\eqalign{ & ab({a^2} + {c^2}) \ge ab.2ac = 2{a^2}bc \cr & bc({a^2} + {b^2}) \ge 2bc.ab = 2a{b^2}c \cr & ca({b^2} + {c^2}) \ge ca.2bc = 2ab{c^2} \cr & \Rightarrow VP \ge 2{a^2}bc + 2a{b^2}c + 2ab{c^2} = 2abc(a + b + c). \cr} \)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow a = b = c\).
