Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – cách giải {} bài tập

Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)\left( C \right)$ khi biết hệ số góc là k

Giải phương trình $k={f}'\left( x \right)\Rightarrow \left[ \begin{array}  {} x={{x}_{01}} \\  {} x={{x}_{02}} \\  {} .......... \\  {} x={{x}_{i}} \\ \end{array} \right.\Rightarrow y\left( {{x}_{i}} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và ${{d}_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{b}_{2}}$

Khi đó ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$.

▪ Nếu ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{k}_{1}}={{k}_{2}} \\  {} {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{array} \right.$

▪ Nếu ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow {{k}_{1}}.{{k}_{2}}=-1$

▪ Đường thẳng $d:y=k\text{x}+b$ tạo với trục hoành một góc α thì $k=\pm \tan \alpha $.

Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc có đáp án

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

a) Do tiếp tuyến có hệ số góc $k=-1$ nên ta có: $\frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=3 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.$.

Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=2\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-1\left( x-3 \right)+2=-x+5$.

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\left( x-1 \right)=-x+1$.

b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-4\text{x}+2\Rightarrow {{k}_{u}}=-4\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=-4$

$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=\frac{5}{2} \\  {} x=\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$

Với ${{x}_{0}}=\frac{5}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=3\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-\frac{5}{2} \right)+3=-4\text{x}+13$

Với ${{x}_{0}}=\frac{3}{2}\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-4\left( x-\frac{3}{2} \right)-1=-4\text{x}+5$ (loại vì trùng với đường thẳng đã cho)

Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-4\text{x}+13$.

c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=9\text{x}+2$ suy ra ${{k}_{u}}.{{k}_{d}}=-1\Leftrightarrow \frac{-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=\frac{-1}{9}$

$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=5 \\  {} x=-1 \\ \end{array} \right.$.

Với ${{x}_{0}}=5\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{4}{3}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là: $y=-\frac{1}{9}\left( x-5 \right)+\frac{4}{3}=\frac{-1}{9}x+\frac{17}{9}$

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=\frac{2}{3}\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến là $y=-\frac{1}{9}\left( x+1 \right)+\frac{2}{3}=\frac{-1}{9}x+\frac{5}{9}$.

Lời giải

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm.

a) Ta có: $d:y=\frac{-1}{2}x-\frac{1}{2}\Rightarrow {{k}_{d}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow {{k}_{u}}=2$. Khi đó ${y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=0 \\  {} {{x}_{0}}=-2 \\ \end{array} \right.$

Với ${{x}_{0}}=0\Rightarrow {{y}_{0}}=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2\text{x}-1$

Với ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow {{y}_{0}}=3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=2\left( x+2 \right)+3=2\text{x}+7$

b) Ta có: ${{d}_{1}}:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=20\text{x}+1\Rightarrow {{k}_{n}}={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{2}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=1 \\  {} {{x}_{0}}=-3 \\ \end{array} \right.$.

Với ${{x}_{0}}=1\Rightarrow {{y}_{0}}=0\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}\left( x-1 \right)\equiv d$ (loại)

Với ${{x}_{0}}=-3\Rightarrow {{y}_{0}}=2\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{1}{2}\left( x+3 \right)+2=\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$.

Lời giải

Ta có: ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}-6\text{x}$. Giải $3{{x}^{2}}-6\text{x}=-3\Leftrightarrow 3{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=1$.

Với $x=1\Rightarrow y=0\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-3\left( x-1 \right)$. Chọn A.

Lời giải

Ta có: $d:y=-2\text{x}+7;{y}'=\frac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-2\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=2 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.$ .

Với $x=2\Rightarrow y=3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2\left( x-2 \right)+3=-2\text{x}+7\equiv d$ (loại).

Với $x=0\Rightarrow y=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y=-2\text{x}-1$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $y=\frac{-1}{6}x-\frac{1999}{6}\left( d \right)$. Do tiếp tuyến vuông góc với d nên ${{k}_{d}}.{{k}_{u}}=-1\Rightarrow {{k}_{u}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=6$.

Giải ${y}'=6\Leftrightarrow 4{{\text{x}}^{3}}+2\text{x}=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=-3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=6\left( x-1 \right)-3=6\text{x}-9$. Chọn A.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{7}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -1 \right)=\frac{7}{9}=k$. Chọn C.

Lời giải

Ta có: ${y}'=\frac{1+m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( -2 \right)=1+m=3\Leftrightarrow m=2$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: ${y}'\left( 1 \right)=3-8m+3=-2\Leftrightarrow m=1$. Chọn A.

Lời giải

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=24\text{x}-1$ suy ra ${{k}_{n}}=24$

Khi đó ${y}'=4{{\text{x}}^{3}}-4\text{x}=24\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=5$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=24\left( x-2 \right)+5=24\text{x}-43$. Chọn D.

Lời giải

Do tiếp tuyến vuông góc với $y=\frac{-x}{9}+1$ nên ${{k}_{u}}=\frac{-1}{{{k}_{d}}}=9$

Giải ${y}'=3{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=1 \\  {} x=-3 \\ \end{array} \right.$

Với $x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9\left( x-1 \right)+1=9\text{x}-8$

Với $x=-3\Rightarrow y=-3\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=9\left( x+3 \right)-3=9\text{x}+24$

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là $y=9\text{x}-8;y=9\text{x}+24$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $d:y=-5\text{x}-2\Rightarrow {{k}_{u}}=-5$. Giải ${y}'=\frac{-5}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0 \\  {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Với $x=0\Rightarrow y=-2\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\text{x}-2$ (loại).

Với $x=2\Rightarrow y=8\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\left( x-2 \right)+8=-5\text{x}+18$. Chọn B.

Lời giải

Ta có: ${{k}_{u}}={y}'\left( -1 \right)=3+2m$. Từ gt $\Rightarrow \left( 3+2m \right).\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow 3+2m=-2\Leftrightarrow m=\frac{-5}{2}$. Chọn B.

Lời giải

Ta có: ${y}'=-3{{\text{x}}^{2}}+4m\text{x}\Rightarrow {y}'\left( 1 \right)=-3+4m=1\Leftrightarrow m=1$

Mặt khác điểm $A\left( 1;3 \right)\in \left( C \right)$ nên $3=-1+2m+n=n+1\Leftrightarrow n=2$. Vậy $m+n=3$. Chọn B.

Lời giải

Giải hệ $\left\{ \begin{array}  {} -4=\frac{m+2}{n+2} \\  {} {y}'\left( 2 \right)=\frac{n-m}{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=-4n-10 \\  {} \frac{5n+10}{{{\left( n+2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=-4n-10 \\  {} \frac{1}{n+2}=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} n=-3 \\  {} m=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2m-n=7$.

Chọn D.

Lời giải

Giải hệ $\left\{ \begin{array}  {} -3=\frac{m+n}{1-2} \\  {} {y}'\left( 3 \right)=\frac{-2m-n}{{{\left( 3-2 \right)}^{2}}}=-5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m+n=3 \\  {} 2m+n=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=2 \\  {} n=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=5$.

Chọn A.

Lời giải

Giải hệ $\left\{ \begin{array}  {} 5=-1+m-n \\  {} {y}'\left( 1 \right).\frac{-1}{3}=-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m-n=6 \\  {} \left( 3+2m+n \right)=3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=2 \\  {} n=-4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=20$. Chọn C.

Lời giải

Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là $x=a$.

Khi đó ta có: ${y}'\left( a \right)=3{{\text{a}}^{2}}+6ma=-3\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ma+1=0$.

Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc $k=-3$ là: ${{\Delta }_{\left( 1 \right)}}={{m}^{2}}-1>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m>1 \\  {} m<-1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải

Ta có $y=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-4{{\text{x}}^{2}}+9\text{x}-11\xrightarrow{{}}{y}'=2{{\text{x}}^{2}}-8\text{x}+9,\forall x\in \mathbb{R}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là $k={y}'\left( {{x}_{0}} \right)=2\text{x}_{0}^{2}-8{{\text{x}}_{0}}+9$.

Mặt khác $2\text{x}_{0}^{2}-8{{\text{x}}_{0}}+9=2\left( x_{0}^{2}-4{{\text{x}}_{0}}+4 \right)+1=2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}+1\ge 1\Rightarrow {{k}_{\min }}=1$.

Dấu bằng xảy ra khi ${{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=-\frac{11}{3}$.

Vậy phương trình d là $y+\frac{11}{3}=x-2\Leftrightarrow y=x-\frac{17}{3}\Rightarrow P\left( 5;-\frac{2}{3} \right)\in d$. Chọn B.

Lời giải

Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=-3$

Do đó hàm số có dạng: $y=\frac{-3\text{x}+b}{x-1}\Rightarrow {y}'=\frac{3-b}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow {y}'\left( 0 \right)=3-b$

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=2\text{x}+2018\Rightarrow 3-b=2\Leftrightarrow b=1$.

Vậy $a=-3;b=1;c=1\Rightarrow T=2$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $\Delta OAB$ vuông tại O ta có: $\tan \widehat{BAO}=\frac{OB}{OA}=\frac{\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}}{OA}=7$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: $k=\pm 7$.

Gọi $M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+4}{{{x}_{0}}-3} \right)\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{-7}{{{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}}=\pm 7\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=4 \\  {} {{x}_{0}}=2 \\ \end{array} \right.$

Suy ra $M\left( 4;8 \right)\Rightarrow T=16$. Chọn A.