Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)(C) khi biết hệ số góc là k
Giải phương trình k=f′(x)⇒[x=x01x=x02..........x=xi⇒y(xi)⇒ Phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1:y=k1x+b1 và d2:y=k2x+b2
Khi đó k1,k2 lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng d1 và d2.
Nếu d1//d2⇔{k1=k2b1≠b2
Nếu d1⊥d2⇔k1.k2=−1
Đường thẳng d:y=kx+b tạo với trục hoành một góc α thì k=±tanα.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x−1x−2 biết:
a) Tiếp tuyến có hệ số góc là k=−1. b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=−4x+5. c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=9x+2. |
Lời giải
Ta có: y′=−1(x−2)2
a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k=−1 nên ta có: −1(x−2)2=−1⇔[x=3x=1.
Với x0=3⇒y0=2⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=−1(x−3)+2=−x+5.
Với x0=1⇒y0=0⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=−(x−1)=−x+1.
b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=−4x+2⇒ku=−4⇔−1(x−2)2=−4
⇔(x−2)2=14⇔[x=52x=32
Với x0=52⇒y0=3⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=−4(x−52)+3=−4x+13
Với x0=32⇒y0=−1⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=−4(x−32)−1=−4x+5 (loại vì trùng với đường thẳng đã cho)
Vậy phương trình tiếp tuyến là y=−4x+13.
c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=9x+2 suy ra ku.kd=−1⇔−1(x−2)2=−1kd=−19
⇔(x−2)2=9⇔[x=5x=−1.
Với x0=5⇒y0=43⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=−19(x−5)+43=−19x+179
Với x0=−1⇒y0=23⇒ phương trình tiếp tuyến là y=−19(x+1)+23=−19x+59.
Ví dụ 2: Cho hàm số: y=x−1x+1(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:x+2y+1=0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1:x−2y−1=0. |
Lời giải
Gọi M(x0;y0)∈(C) là tiếp điểm.
a) Ta có: d:y=−12x−12⇒kd=−12⇒ku=2. Khi đó y′(x0)=2(x0+1)2=2⇔[x0=0x0=−2
Với x0=0⇒y0=−1⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=2x−1
Với x0=−2⇒y0=3⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=2(x+2)+3=2x+7
b) Ta có: d1:y=12x−12
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=20x+1⇒kn=y′(x0)=2(x0+1)2=12⇔[x0=1x0=−3.
Với x0=1⇒y0=0⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=12(x−1)≡d (loại)
Với x0=−3⇒y0=2⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=12(x+3)+2=12x+72.
Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3x2+2 có hệ số góc k=−3 là:
A. y=−3x+3 B. y=−3x+2 C. y=−3x D. y=−3x−3 |
Lời giải
Ta có: y′=3x2−6x. Giải 3x2−6x=−3⇔3(x−1)2=0⇔x=1.
Với x=1⇒y=0⇒ Phương trình tiếp tuyến: y=−3(x−1). Chọn A.
Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x+1x−1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:2x+y−7=0 là:
A. y=−2x−3 B. y=−2x+3 C. y=−2x+1 D. y=−2x−1 |
Lời giải
Ta có: d:y=−2x+7;y′=−2(x−1)2=−2⇔[x=2x=0 .
Với x=2⇒y=3⇒ Phương trình tiếp tuyến: y=−2(x−2)+3=−2x+7≡d (loại).
Với x=0⇒y=−1⇒ Phương trình tiếp tuyến: y=−2x−1. Chọn D.
Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x4+x2−5mà vuông góc với đường thẳng x+6y+1999=0 là:
A. y=6x−9 B. y=6x−6 C. y=−6x+9 D. y=−6x+6 |
Lời giải
Ta có: y=−16x−19996(d). Do tiếp tuyến vuông góc với d nên kd.ku=−1⇒ku=−1kd=6.
Giải y′=6⇔4x3+2x=6⇔x=1⇒y=−3⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=6(x−1)−3=6x−9. Chọn A.
Ví dụ 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x−32−x tại điểm có hoành độ x=−1 có hệ số góc là:
A. 1 B. 7 C. 79 D. 19 |
Lời giải
Ta có: y′=7(2−x)2⇒y′(−1)=79=k. Chọn C.
Ví dụ 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x−mx+1 tại điểm có hoành độ x=−2 có hệ số góc là k=3. Giá trị của tham số m là:
A. m=4 B. m=−4 C. m=−2 D. m=2 |
Lời giải
Ta có: y′=1+m(x+1)2⇒y′(−2)=1+m=3⇔m=2. Chọn D.
Ví dụ 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−4mx2+3x+2 tại điểm có hoành độ x=1 có hệ số góc k=−2. Giá trị của tham số m là:
A. m=1 B. m=−1 C. m=−2 D. m=2 |
Lời giải
Ta có: y′(1)=3−8m+3=−2⇔m=1. Chọn A.
Ví dụ 9: Cho hàm số y=x4−2x2−3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x−1.
A. y=24x−48 B. y=24x−21 C. y=24x−45 D. y=24x−43 |
Lời giải
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x−1 suy ra kn=24
Khi đó y′=4x3−4x=24⇔x=2⇒y=5.
Phương trình tiếp tuyến là: y=24(x−2)+5=24x−43. Chọn D.
Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3x2−3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=−x9+1.
A. y=9x−8 B. y=9x+24 C. y=9x+10 D. [y=9x−8y=9x+24 |
Lời giải
Do tiếp tuyến vuông góc với y=−x9+1 nên ku=−1kd=9
Giải y′=3x2+6x=9⇔[x=1x=−3
Với x=1⇒y=1⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=9(x−1)+1=9x−8
Với x=−3⇒y=−3⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=9(x+3)−3=9x+24
Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là y=9x−8;y=9x+24. Chọn D.
Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=3x+2x−1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x+y+2=0.
A. y=−5x−2 B. y=−5x+18 C. y=−5x+10 D. y=−5x+12 |
Lời giải
Ta có: d:y=−5x−2⇒ku=−5. Giải y′=−5(x−1)2=−5⇔[x=0x=2
Với x=0⇒y=−2⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=−5x−2 (loại).
Với x=2⇒y=8⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y=−5(x−2)+8=−5x+18. Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hàm số y=x3+2mx+2(C). Tìm giá trị của tham số m biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=−1 vuông góc với đường thẳng y=12x+3.
A. m=−5 B. −52 C. 52 D. 5 |
Lời giải
Ta có: ku=y′(−1)=3+2m. Từ gt ⇒(3+2m).12=−1⇔3+2m=−2⇔m=−52. Chọn B.
Ví dụ 13: Cho hàm số y=−x3+2mx2+n(C). Tìm tổng m+n biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;3) có hệ số góc là k=1.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 |
Lời giải
Ta có: y′=−3x2+4mx⇒y′(1)=−3+4m=1⇔m=1
Mặt khác điểm A(1;3)∈(C) nên 3=−1+2m+n=n+1⇔n=2. Vậy m+n=3. Chọn B.
Ví dụ 14: Cho hàm số y=x+mx+n(C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2;−4) song song với đường thẳng y=−5x+2017. Vậy giá trị của 2m−n là:
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 |
Lời giải
Giải hệ {−4=m+2n+2y′(2)=n−m(n+2)2=−5⇔{m=−4n−105n+10(n+2)2=−5⇔{m=−4n−101n+2=−1⇔{n=−3m=2⇒2m−n=7.
Chọn D.
Ví dụ 15: Cho hàm số y=mx+nx−2(C). Biết (C) đi qua điểm A(1;−3) và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=3 có hệ số góc k=−5. Giá trị của biểu thức m2+n2 bằng:
A. 5 B. 10 C. 13 D. 25 |
Lời giải
Giải hệ {−3=m+n1−2y′(3)=−2m−n(3−2)2=−5⇔{m+n=32m+n=5⇔{m=2n=1⇒m2+n2=5.
Chọn A.
Ví dụ 16: Cho hàm số y=x3+mx2+nx(C). Tìm giá trị của m2+n2 để đồ thị hàm số đi qua điểm A(−1;5) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 vuông góc với đường thẳng y=−13x+2.
A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 |
Lời giải
Giải hệ {5=−1+m−ny′(1).−13=−1⇔{m−n=6(3+2m+n)=3⇔{m=2n=−4⇒m2+n2=20. Chọn C.
Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3mx2+2 có cùng hệ số góc k=−3.
A. −1<m<1 B. −1≤m≤1 C. [m>1m<−1 D. m=±1 |
Lời giải
Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là x=a.
Khi đó ta có: y′(a)=3a2+6ma=−3⇔a2+2ma+1=0.
Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc k=−3 là: Δ(1)=m2−1>0⇔[m>1m<−1. Chọn C.
Ví dụ 18: Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y=23x3−4x2+9x−11. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?
A. M(−5;23) B. P(5;−23) C. N(2;−53) D. Q(−2;53) |
Lời giải
Ta có y=23x3−4x2+9x−11→y′=2x2−8x+9,∀x∈R.
Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M(x0;y0) là k=y′(x0)=2x20−8x0+9.
Mặt khác 2x20−8x0+9=2(x20−4x0+4)+1=2(x0−2)2+1≥1⇒kmin=1.
Dấu bằng xảy ra khi (x0−2)2=0⇔x0=2⇒y0=−113.
Vậy phương trình d là y+113=x−2⇔y=x−173⇒P(5;−23)∈d. Chọn B.
Ví dụ 19: Cho hàm số y=ax+bcx−1(C) có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng y=2x+2018.
Giá trị của biể thức T=a+2b+3c là: A. T=3 B. T=1 C. T=3 D. T=2 |
Lời giải
Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=−3
Do đó hàm số có dạng: y=−3x+bx−1⇒y′=3−b(x−1)2⇒y′(0)=3−b
Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+2018⇒3−b=2⇔b=1.
Vậy a=−3;b=1;c=1⇒T=2. Chọn D.
Ví dụ 20: Cho hàm số y=x+4x−3(C). Điểm M(x0;y0) (với y0>0) thuộc sao (C) cho tiếp tuyến tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB=5.OA√2. Giá trị của 2x0+y0 là:
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 |
Lời giải
Ta có: ΔOAB vuông tại O ta có: tan^BAO=OBOA=√AB2−OA2OA=7
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: k=±7.
Gọi M(x0;x0+4x0−3)⇒y′(x0)=−7(x0−3)2=±7⇔(x0−3)2=1⇔[x0=4x0=2
Suy ra M(4;8)⇒T=16. Chọn A.
TOÁN LỚP 12