Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc – cách giải {} bài tập

Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)(C) khi biết hệ số góc là k

Giải phương trình k=f(x)[x=x01x=x02..........x=xiy(xi) Phương trình tiếp tuyến.

Chú ý: Cho 2 đường thẳng d1:y=k1x+b1d2:y=k2x+b2

Khi đó k1,k2 lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng d1d2.

▪ Nếu d1//d2{k1=k2b1b2

▪ Nếu d1d2k1.k2=1

▪ Đường thẳng d:y=kx+b tạo với trục hoành một góc α thì k=±tanα.

Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc có đáp án

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x1x2 biết:

a) Tiếp tuyến có hệ số góc là k=1.

b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+5.

c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=9x+2.

Lời giải

Ta có: y=1(x2)2

a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k=1 nên ta có: 1(x2)2=1[x=3x=1.

Với x0=3y0=2 phương trình tiếp tuyến là: y=1(x3)+2=x+5.

Với x0=1y0=0 phương trình tiếp tuyến là: y=(x1)=x+1.

b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=4x+2ku=41(x2)2=4

(x2)2=14[x=52x=32

Với x0=52y0=3 phương trình tiếp tuyến là: y=4(x52)+3=4x+13

Với x0=32y0=1 phương trình tiếp tuyến là: y=4(x32)1=4x+5 (loại vì trùng với đường thẳng đã cho)

Vậy phương trình tiếp tuyến là y=4x+13.

c) Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=9x+2 suy ra ku.kd=11(x2)2=1kd=19

(x2)2=9[x=5x=1.

Với x0=5y0=43 phương trình tiếp tuyến là: y=19(x5)+43=19x+179

Với x0=1y0=23 phương trình tiếp tuyến là y=19(x+1)+23=19x+59.

Ví dụ 2: Cho hàm số: y=x1x+1(C)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:x+2y+1=0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1:x2y1=0.

Lời giải

Gọi M(x0;y0)(C) là tiếp điểm.

a) Ta có: d:y=12x12kd=12ku=2. Khi đó y(x0)=2(x0+1)2=2[x0=0x0=2

Với x0=0y0=1 Phương trình tiếp tuyến là: y=2x1

Với x0=2y0=3 Phương trình tiếp tuyến là: y=2(x+2)+3=2x+7

b) Ta có: d1:y=12x12

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=20x+1kn=y(x0)=2(x0+1)2=12[x0=1x0=3.

Với x0=1y0=0 Phương trình tiếp tuyến là: y=12(x1)d (loại)

Với x0=3y0=2 Phương trình tiếp tuyến là: y=12(x+3)+2=12x+72.

Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x33x2+2 có hệ số góc k=3 là:

A. y=3x+3  B. y=3x+2  C. y=3x  D. y=3x3

Lời giải

Ta có: y=3x26x. Giải 3x26x=33(x1)2=0x=1.

Với x=1y=0 Phương trình tiếp tuyến: y=3(x1)Chọn A.

Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x+1x1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:2x+y7=0 là:

A. y=2x3  B. y=2x+3  C. y=2x+1  D. y=2x1

Lời giải

Ta có: d:y=2x+7;y=2(x1)2=2[x=2x=0 .

Với x=2y=3 Phương trình tiếp tuyến: y=2(x2)+3=2x+7d (loại).

Với x=0y=1 Phương trình tiếp tuyến: y=2x1Chọn D.

Ví dụ 5: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x4+x25mà vuông góc với đường thẳng x+6y+1999=0 là:

A. y=6x9  B. y=6x6  C. y=6x+9  D. y=6x+6

Lời giải

Ta có: y=16x19996(d). Do tiếp tuyến vuông góc với d nên kd.ku=1ku=1kd=6.

Giải y=64x3+2x=6x=1y=3 Phương trình tiếp tuyến là: y=6(x1)3=6x9Chọn A.

Ví dụ 6: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=2x32x tại điểm có hoành độ x=1 có hệ số góc là:

A. 1 B. 7 C. 79  D. 19

Lời giải

Ta có: y=7(2x)2y(1)=79=kChọn C.

Ví dụ 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=xmx+1 tại điểm có hoành độ x=2 có hệ số góc là k=3. Giá trị của tham số m là:

A. m=4  B. m=4  C. m=2  D. m=2

Lời giải

Ta có: y=1+m(x+1)2y(2)=1+m=3m=2Chọn D.

Ví dụ 8: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x34mx2+3x+2 tại điểm có hoành độ x=1 có hệ số góc k=2. Giá trị của tham số m là:

A. m=1  B. m=1  C. m=2  D. m=2

Lời giải

Ta có: y(1)=38m+3=2m=1Chọn A.

Ví dụ 9: Cho hàm số y=x42x23. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x1.

A. y=24x48  B. y=24x21  C. y=24x45  D. y=24x43

Lời giải

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x1 suy ra kn=24

Khi đó y=4x34x=24x=2y=5.

Phương trình tiếp tuyến là: y=24(x2)+5=24x43Chọn D.

Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3x23 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x9+1.

A. y=9x8  B. y=9x+24  C. y=9x+10   D. [y=9x8y=9x+24

Lời giải

Do tiếp tuyến vuông góc với y=x9+1 nên ku=1kd=9

Giải y=3x2+6x=9[x=1x=3

Với x=1y=1 Phương trình tiếp tuyến là: y=9(x1)+1=9x8

Với x=3y=3 Phương trình tiếp tuyến là: y=9(x+3)3=9x+24

Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là y=9x8;y=9x+24Chọn D.

Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=3x+2x1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x+y+2=0.

A. y=5x2  B. y=5x+18  C. y=5x+10  D. y=5x+12

Lời giải

Ta có: d:y=5x2ku=5. Giải y=5(x1)2=5[x=0x=2

Với x=0y=2 Phương trình tiếp tuyến là: y=5x2 (loại).

Với x=2y=8 Phương trình tiếp tuyến là: y=5(x2)+8=5x+18Chọn B.

Ví dụ 12: Cho hàm số y=x3+2mx+2(C). Tìm giá trị của tham số m biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=1 vuông góc với đường thẳng y=12x+3.

A. m=5  B. 52  C. 52  D. 5

Lời giải

Ta có: ku=y(1)=3+2m. Từ gt (3+2m).12=13+2m=2m=52Chọn B.

Ví dụ 13: Cho hàm số y=x3+2mx2+n(C). Tìm tổng m+n biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(1;3) có hệ số góc là k=1.

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải

Ta có: y=3x2+4mxy(1)=3+4m=1m=1

Mặt khác điểm A(1;3)(C) nên 3=1+2m+n=n+1n=2. Vậy m+n=3Chọn B.

Ví dụ 14: Cho hàm số y=x+mx+n(C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2;4) song song với đường thẳng y=5x+2017. Vậy giá trị của 2mn là:

A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

Lời giải

Giải hệ {4=m+2n+2y(2)=nm(n+2)2=5{m=4n105n+10(n+2)2=5{m=4n101n+2=1{n=3m=22mn=7.

Chọn D.

Ví dụ 15: Cho hàm số y=mx+nx2(C). Biết (C) đi qua điểm A(1;3) và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x=3 có hệ số góc k=5. Giá trị của biểu thức m2+n2 bằng:

A. 5 B. 10 C. 13 D. 25

Lời giải

Giải hệ {3=m+n12y(3)=2mn(32)2=5{m+n=32m+n=5{m=2n=1m2+n2=5.

Chọn A.

Ví dụ 16: Cho hàm số y=x3+mx2+nx(C). Tìm giá trị của m2+n2 để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;5) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=1 vuông góc với đường thẳng y=13x+2.

A. 5 B. 10 C. 20 D. 25

Lời giải

Giải hệ {5=1+mny(1).13=1{mn=6(3+2m+n)=3{m=2n=4m2+n2=20Chọn C.

Ví dụ 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3+3mx2+2 có cùng hệ số góc k=3.

A. 1<m<1  B. 1m1  C. [m>1m<1               D. m=±1

Lời giải

Để có 2 tiếp tuyến thì phải có 2 tiếp điểm phân biệt. Giả sử hoành độ tiếp điểm là x=a.

Khi đó ta có: y(a)=3a2+6ma=3a2+2ma+1=0.

Đk có 2 tiếp tuyến có cùng hệ số góc k=3 là: Δ(1)=m21>0[m>1m<1Chọn C.

Ví dụ 18: Gọi d là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số y=23x34x2+9x11. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới đây?

A. M(5;23)  B. P(5;23)  C. N(2;53)               D. Q(2;53)

Lời giải

Ta có y=23x34x2+9x11y=2x28x+9,xR.

Hệ số góc của tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M(x0;y0)k=y(x0)=2x208x0+9.

Mặt khác 2x208x0+9=2(x204x0+4)+1=2(x02)2+11kmin=1.

Dấu bằng xảy ra khi (x02)2=0x0=2y0=113.

Vậy phương trình d là y+113=x2y=x173P(5;23)dChọn B.

Ví dụ 19: Cho hàm số y=ax+bcx1(C) có bảng biến thiên như hình vẽ. Biết tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung song song với đường thẳng y=2x+2018.

Giá trị của biể thức T=a+2b+3c là:

A. T=3  B. T=1  C. T=3  D. T=2

Lời giải

Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x=1 và tiệm cận ngang y=3

Do đó hàm số có dạng: y=3x+bx1y=3b(x1)2y(0)=3b

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x+20183b=2b=1.

Vậy a=3;b=1;c=1T=2Chọn D.

Ví dụ 20: Cho hàm số y=x+4x3(C). Điểm M(x0;y0) (với y0>0) thuộc sao (C) cho tiếp tuyến tại M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho AB=5.OA2. Giá trị của 2x0+y0 là:

A. 16 B. 17 C. 18 D. 19

Lời giải

Ta có: ΔOAB vuông tại O ta có: tan^BAO=OBOA=AB2OA2OA=7

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ta có: k=±7.

Gọi M(x0;x0+4x03)y(x0)=7(x03)2=±7(x03)2=1[x0=4x0=2

Suy ra M(4;8)T=16Chọn A.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12