Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải {} bài tập

Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua $B\left( \alpha ;\beta  \right)$

Gọi $A\left( {{x}_{0}};f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\in \left( C \right)$.

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A của $\left( C \right)$ là $y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)\left( d \right)$.

Mặt khác d đi qua $B\left( \alpha ;\beta  \right)$ nên $\beta ={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( \alpha -{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$ từ đó giải phương trình tìm ${{x}_{0}}$.

Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm có đáp án chi tiết

Lời giải

Ta có: $y=\frac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}$. Tiếp tuyến qua $A\left( 1;7 \right)$.

Do vậy $7=\frac{-3}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( 1-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=\frac{{{x}_{0}}+5}{{{x}_{0}}-1}\Leftrightarrow 7\left( {{x}_{0}}-1 \right)={{x}_{0}}+5\Leftrightarrow {{x}_{0}}=2$.

Phương trình tiếp tuyến là: $y=-3\left( x-2 \right)+4$ hay $y=-3\text{x}+10$.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{4}+2\text{x}_{0}^{2} \right)$ là $y=\left( 4\text{x}_{0}^{3}+4{{\text{x}}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{4}+2\text{x}_{0}^{2}+5\left( d \right)$

Do $O\left( 0;0 \right)\in d$ nên $0=-3\text{x}_{0}^{4}-2\text{x}_{0}^{2}+5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=1 \\  {} {{x}_{0}}=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến: $\left[ \begin{array}  {} y=8\text{x} \\  {} y=-8\text{x} \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}};\frac{2{{\text{x}}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2} \right)$ là $y=\frac{-5}{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{2{{x}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2}\left( d \right)$

Do $A\left( 2;-8 \right)\in d$nên ta có: $-8=\frac{-5\left( 2-{{x}_{0}} \right)}{{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}+\frac{2{{\text{x}}_{0}}+1}{{{x}_{0}}-2}=\frac{2{{x}_{0}}+6}{{{x}_{0}}-2}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=1$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\left( x-1 \right)-3=-5\text{x}+2$. Chọn A.

Lời giải

Gọi $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3{{\text{x}}_{0}} \right)$ là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến là $y=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-3 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3{{\text{x}}_{0}}$

Do tiếp tuyến đi qua $A\left( 2;2 \right)$ nên $2=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-3 \right)\left( 2-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3{{\text{x}}_{0}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=2 \\  {} {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=2 \\ \end{array} \right.$

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $\left[ \begin{array}  {} y=2 \\  {} y=9\left( x-2 \right)+2=9\text{x}-16 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $A\left( {{x}_{0}};4\text{x}_{0}^{3}-6\text{x}_{0}^{2}+1 \right)$ là:

$y=\left( 12\text{x}_{0}^{2}-12{{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+4\text{x}_{0}^{3}-6\text{x}_{0}^{2}+1\left( d \right)$

Cho $M\left( -1;-9 \right)\in d$ ta có: $-9=\left( 12\text{x}_{0}^{2}-12{{\text{x}}_{0}} \right)\left( -1-{{x}_{0}} \right)+4\text{x}_{0}^{3}-6\text{x}_{0}^{2}+1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=\frac{5}{4} \\  {} {{x}_{0}}=-1 \\ \end{array} \right.$.

Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=24\text{x}+15$

Với ${{x}_{0}}=\frac{-5}{4}\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{4}$. Chọn C.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-4{{\text{x}}_{0}}+1 \right)$ là: $y=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-4 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-4{{\text{x}}_{0}}+1$

Cho tiếp tuyến qua $A\left( -2;1 \right)$ ta có:

$1=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-4 \right)\left( -2-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-4{{\text{x}}_{0}}+1\Leftrightarrow -2\text{x}_{0}^{3}-6\text{x}_{0}^{2}+8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=1 \\  {} {{x}_{0}}=-2 \\ \end{array} \right.$.

Do vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: $y=-x-1$, $y=8\text{x}+17$. Chọn D.

Lời giải

Ta có: $x=2;y=3;{f}'\left( 2 \right)=2$. Tiếp tuyến tại điểm $M\left( 2;3 \right)$ là: $y=2\left( x-2 \right)+3=2\text{x}-1\left( d \right)$.

Do $A\in d$ nên $a+2=2\text{a}-1\Leftrightarrow a=3$. Chọn C.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x}_{0}};x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2} \right)$ có dạng: $y=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2}$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $\left( 0;b \right)\Rightarrow b=\left( 3\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}} \right)\left( -{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{3}-3\text{x}_{0}^{2}=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$

Để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua $B\left( 0;b \right)$ thì phương trình $b=-2\text{x}_{0}^{3}+3\text{x}_{0}^{2}$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số $y=-2{{\text{x}}^{3}}+3{{\text{x}}^{2}}\Rightarrow {y}'=-6{{\text{x}}^{2}}+6\text{x}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=0\Rightarrow y=0 \\  {} x=1\Rightarrow y=1 \\ \end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{array}  {} b>1 \\  {} b<0 \\ \end{array} \right.$

Vậy $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1} \right)$ là:

$y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}=\frac{1}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{-{{x}_{0}}+2}{{{x}_{0}}-1}$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( a;1 \right)$ nên $1=\frac{{{x}_{0}}-a+\left( 2-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=-x_{0}^{2}+4{{\text{x}}_{0}}-2-a\Leftrightarrow 2\text{x}_{0}^{2}-6{{\text{x}}_{0}}+3+a=0\left( * \right)$

Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm ${{x}_{0}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {\Delta }'=3-2\text{a}=0 \\  {} \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }'=3-2\text{a}>0 \\  {} 2.1-6+3+a=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=\frac{3}{2} \\  {} a=1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Lời giải

Gọi $A\left( a;-{{a}^{3}}+6{{\text{a}}^{2}}+2 \right)\in \left( C \right)$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A là: $y=\left( -3{{\text{a}}^{2}}+12\text{a} \right)\left( x-a \right)-{{a}^{3}}+6{{\text{a}}^{2}}+2$

Do tiếp tuyến đi qua $M\left( m;2 \right)$ nên $2=\left( -3{{a}^{2}}+12\text{a} \right)\left( x-a \right)-{{a}^{3}}+6{{\text{a}}^{2}}+2$

$\Leftrightarrow \left( -3{{\text{a}}^{2}}+12 \right)\left( m-a \right)={{a}^{3}}-6{{\text{a}}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=0 \\  {} \left( -3\text{a}+12 \right)\left( m-a \right)={{a}^{2}}-6\text{a}\left( * \right) \\ \end{array} \right.$

$\left( * \right)\Leftrightarrow -3ma-12\text{a}+12m+3{{\text{a}}^{2}}={{a}^{2}}-6\text{a}\Leftrightarrow g\left( a \right)=-2{{\text{a}}^{2}}+3\left( m+2 \right)a-12m=0$

Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ ta có 2 trường hợp.

TH1: $g\left( a \right)=0$ có nghiệm kép khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( 0 \right)=-12m\ne 0 \\  {} \Delta =9{{\left( m+2 \right)}^{2}}-96m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=\frac{2}{3} \\  {} m=6 \\ \end{array} \right.$

TH2: $g\left( a \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 0 (vô nghiệm)

Vậy $m=\frac{2}{3};m=6\Rightarrow \sum{m}=\frac{20}{3}$. Chọn A.

Lời giải

Gọi $M\left( a;\frac{a+1}{a-1} \right)\in \left( C \right)$, phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=\frac{-2}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\frac{a+1}{a-1}$

Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( 0;m \right)\Rightarrow m=\frac{2\text{a}}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}+\frac{a+1}{a-1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 1 \\  {} m{{\left( a-1 \right)}^{2}}=2\text{a}+{{a}^{2}}-1 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 1 \\  {} g\left( a \right)=\left( m-1 \right){{a}^{2}}-2\left( m+1 \right)a+m+1=0 \\ \end{array} \right.\left( * \right)$

Để có đúng một tiếp tuyến từ   đi qua A ta xét các trường hợp sau:

TH1: Với $m=1\Rightarrow -4\text{a}+2=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$

TH2: Do $g\left( 1 \right)=-2$ nên để có đúng một tiếp tuyến từ $\left( C \right)$ đi qua A thì $g\left( a \right)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne 1 \\  {} {\Delta }'={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( m-1 \right)=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1$. Vậy $\sum{m}=0$. Chọn C.

Lời giải

Gọi $M\left( a;{{a}^{3}}-12\text{a}+12 \right)\in \left( C \right)$, phương trình tiếp tuyến tại M là:

$y=\left( 3{{\text{a}}^{2}}-12 \right)\left( x-a \right)+{{a}^{3}}-12\text{a}+12$

Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( m;-4 \right)$ khi $-4=\left( 3{{\text{a}}^{2}}-12 \right)\left( m-a \right)+{{a}^{3}}-12\text{a}+12$

$\Leftrightarrow {{a}^{3}}-12\text{a}+16+3\left( a-2 \right)\left( a+2 \right)\left( m-a \right)=0\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left[ \left( a+4 \right)\left( a-2 \right)+\left( 3\text{a}+6 \right)\left( m-a \right) \right]=0$

$\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\left( -2{{\text{a}}^{2}}+2\text{a}+3ma-6\text{a}-8+6m \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=2 \\  {} g\left( a \right)=-2{{\text{a}}^{2}}+\left( 3m-4 \right)a+6m-8=0 \\ \end{array} \right.$

Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ khi $g\left( a \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( 2 \right)=-8+6m-8+6m-8\ne 0 \\  {} \Delta ={{\left( 3m-4 \right)}^{2}}+8\left( 6m-8 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m>\frac{4}{3} \\  {} m<-4 \\ \end{array} \right. \\  {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{m\in \mathbb{Z};m\in \left( 2;5 \right)}m=3;4\Rightarrow \sum{m}=7$. Chọn A.

Lời giải

Gọi $A\left( a;2\text{a}+1 \right)$, gọi $M\left( {{x}_{0}};\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1} \right)\in \left( C \right)$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: $y=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$

Do tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( a;2\text{a}+1 \right)$ nên $2\text{a}+1=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( a-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{0}}\ne 1 \\  {} \left( 2\text{a}+1 \right){{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=-4\text{a}+4{{\text{x}}_{0}}+x_{0}^{2}+2{{\text{x}}_{0}}-3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{x}_{0}}\ne 1 \\  {} g\left( {{x}_{0}} \right)=ax_{0}^{2}-2\left( a+2 \right){{x}_{0}}+3\text{a}+2=0 \\ \end{array} \right.$

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới $\left( C \right)$ thì phương trình $g\left( {{x}_{0}} \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 0 \\  {} g\left( 1 \right)=-4\text{a}+4\ne 0 \\  {} {\Delta }'={{\left( a+2 \right)}^{2}}-3{{\text{a}}^{2}}-2\text{a}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 0;a\ne 1 \\  {} -2{{\text{a}}^{2}}+2\text{a}+4>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow a\in \left( -1;2 \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$. Chọn A.