Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý
Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số $y=f\left( x \right)$ được ký hiệu là $dy$ và cho bởi $dy=df\left( x \right)={y}'dx={f}'\left( x \right)dx$
II. Nguyên hàm là gì?
1. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$. Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ nếu ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x$ thuộc $K$.
2. Định lý
Định lý 1: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.
Định lý 2: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của hàm số $F\left( x \right)$ trên $K$ đều có dạng $F\left( x \right)+C$ với $C$ là một hằng số.
3. Tính chất của nguyên hàm
Nếu $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì
- Tính chất 1:$\int{{f}'\left( x \right)dx=f\left( x \right)+C}$
- Tính chất 2: $\int{k.f\left( x \right)dx=k.\int{f\left( x \right)dx}}$, với $k$ là số thực khác 0.
- Tính chất 3: $\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx\pm \int{g\left( x \right)dx}}}$
4. Bảng công thức nguyên hàm
|
Bảng công thức nguyên hàm thường gặp |
|
|
Các công thức nguyên hàm |
Công thức nguyên hàm của hàm hợp |
|
$\int{{{x}^{n}}}dx=\frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C$ $\left( n\ne -1 \right)$ |
$\int{{{u}^{n}}}dx=\frac{{{u}^{n+1}}}{n+1}+C$ $\left( n\ne -1 \right)$ |
|
$\int{\sin xdx=-\cos x+C}$ |
$\int{\operatorname{sinu}du=-\operatorname{cosu}+C}$ |
|
$\int{\cos xdx=\sin x+C}$ |
$\int{\cos udu=\sin u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx=\tan x+C}$ |
$\int{\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}du=\tan u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}dx=-\cot x+C}$ |
$\int{\frac{1}{{{\sin }^{2}}u}du=-\cot u+C}$ |
|
$\int{\frac{1}{x}dx=\ln \left| x \right|+C}$ |
$\int{\frac{1}{u}du=\ln \left| u \right|+C}$ |
|
$\int{{{e}^{x}}}dx={{e}^{x}}+C$ |
$\int{{{e}^{u}}}du={{e}^{u}}+C$ |
|
$\int{{{a}^{x}}dx=\frac{{{a}^{x}}}{\ln a}+C}$ |
$\int{{{a}^{u}}du=\frac{{{a}^{u}}}{\ln a}+C}$ |
Đặc biệt: $\int{0dx=C}$; $\int{dx=x+C}$.
TOÁN LỚP 12