Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý

Nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý

I. Vi phân của hàm số

Vi phân của hàm số $y=f\left( x \right)$ được ký hiệu là $dy$ và cho bởi $dy=df\left( x \right)={y}'dx={f}'\left( x \right)dx$

II. Nguyên hàm là gì?

1. Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $K$. Hàm số $F\left( x \right)$ được gọi là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ nếu ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right)$ với mọi $x$ thuộc $K$.

2. Định lý

Định lý 1: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì với mỗi hằng số $C$, hàm số $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$ cũng là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$.

Định lý 2: Nếu $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $K$ thì mọi nguyên hàm của hàm số $F\left( x \right)$ trên $K$ đều có dạng $F\left( x \right)+C$ với $C$ là một hằng số.

3. Tính chất của nguyên hàm

Nếu $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì

- Tính chất 1:$\int{{f}'\left( x \right)dx=f\left( x \right)+C}$

- Tính chất 2: $\int{k.f\left( x \right)dx=k.\int{f\left( x \right)dx}}$, với $k$ là số thực khác 0.

- Tính chất 3: $\int{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]dx=\int{f\left( x \right)dx\pm \int{g\left( x \right)dx}}}$

4. Bảng công thức nguyên hàm

Đặc biệt: $\int{0dx=C}$; $\int{dx=x+C}$.