Một số bài tập chọn lọc về tích phân có đáp án chi tiết - Tự Học 365

Một số bài tập chọn lọc về tích phân có đáp án chi tiết

Một số bài tập chọn lọc về tích phân có đáp án chi tiết

Một số bài tập chọn lọc về tích phân có đáp án chi tiết

Bài tập trắc nghiệm tích phân vận dụng cao có Lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 1;2 \right]$ thỏa mãn $f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}$. Biết $f\left( 1 \right)=-2$, tính $f\left( 2 \right)$

A. $f\left( 2 \right)=\frac{-1}{2}.$ B. $f\left( 2 \right)=\frac{1}{2}.$ C. $f\left( 2 \right)=\frac{-3}{2}.$              D. $f\left( 2 \right)=\frac{-3}{4}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)}{{{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=1\Leftrightarrow \frac{{{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=1$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{-1}{x.f\left( x \right)+1}=x+C$

Thay $x=1\Rightarrow \frac{-1}{-2+1}=1+C\Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{-1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}\Rightarrow f\left( 2 \right)=-\frac{3}{4}$. Chọn D.

 

Bài tập 2: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và liên tục trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ và thỏa mãn ${{x}^{2}}.f\left( x \right)+{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)={{\left[ x.f\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\,\,\left( \forall x\in \left[ 1;3 \right] \right)$ và $f\left( 1 \right)=\frac{-2}{3}$. Khi đó:

A. $0<f\left( 3 \right)<1.$ B. $1<f\left( 3 \right)<3.$ C. $f\left( 3 \right)>3.$ D. $f\left( 3 \right)<0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{x}^{2}}.f\left( x \right)+{{x}^{3}}.{f}'\left( x \right)={{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right) \right]={{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{f\left( x \right)+x.{f}'\left( x \right)}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{{{\left[ x.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{\frac{d\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}{{{\left[ xf\left( x \right)+1 \right]}^{2}}}}=\int{\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx\Rightarrow \frac{-1}{xf\left( x \right)+1}=\frac{-1}{x}+C$

Lại có: $f\left( 1 \right)=\frac{-2}{3}\Rightarrow \frac{-1}{1.f\left( 1 \right)+1}=-1+C\Rightarrow C=\frac{-1}{\frac{-2}{3}+1}+1=-2$

Do đó $\frac{1}{x.f\left( x \right)+1}=\frac{1}{x}+2$, thay $x=3\Rightarrow \frac{1}{3.f\left( 3 \right)+1}=\frac{1}{3}+2\Rightarrow f\left( 3 \right)=\frac{-4}{21}$. Chọn D.

 

Bài tập 3: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến và luôn dương trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ đồng thời thỏa mãn

${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( {{x}^{4}}+3{{x}^{2}} \right)f\left( x \right)$, biết $f\left( 1 \right)=4$. Khi đó

A. $0<f\left( 2 \right)<3.$ B. $3<f\left( 2 \right)<5.$ C. $5<f\left( 2 \right)<9.$ D. $f\left( 2 \right)>9.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( {{x}^{4}}+3{{x}^{2}} \right)f\left( x \right)\Rightarrow \frac{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}{f\left( x \right)}={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+3 \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=x\sqrt{{{x}^{2}}+3}$  (do $f\left( x \right)>0\,\,\forall x\in \left[ 1;2 \right]$)

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{\frac{d\left[ f\left( x \right) \right]}{\sqrt{f\left( x \right)}}}=\int{x\sqrt{{{x}^{2}}+3}dx\Leftrightarrow 2}\sqrt{f\left( x \right)}=\frac{1}{2}\int{\sqrt{{{x}^{2}}+3}dx}\left( {{x}^{2}}+3 \right)$

$\Leftrightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\frac{1}{4}.\frac{2}{3}\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}+C=\frac{1}{6}\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}+C$

Do $f\left( 1 \right)=4\Rightarrow 2=\frac{8}{6}+C\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)}=\frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}}{6}+\frac{2}{3}.$

$\Rightarrow f\left( x \right)={{\left[ \frac{\sqrt{{{\left( {{x}^{2}}+3 \right)}^{3}}}}{6}+\frac{2}{3} \right]}^{2}}\Rightarrow f\left( 2 \right)\approx 14,1$. Chọn D.

Bài tập 4: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm xác định, liên tục $\left[ 0;1 \right]$ đồng thời thỏa mãn các điều kiện

${f}'\left( 0 \right)=-1$ và ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}'}'\left( x \right)$. Đặt $T=f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)$, hãy chọn khẳng định đúng?

A. $-2\le T<-1.$ B. $-1\le T<0.$ C. $0\le T<1.$ D. $1\le T<2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}={{f}'}'\left( x \right)\Rightarrow \frac{{{f}'}'\left( x \right)}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}=1$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: $\int{\frac{d\left[ {f}'\left( x \right) \right]}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}}=\int{dx\Leftrightarrow \frac{-1}{{f}'\left( x \right)}}=x+C\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{-1}{x+C}$

Do ${f}'\left( 0 \right)=-1\Rightarrow C=1$

Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\frac{-1}{x+1}}}dx\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( 0 \right)=-\ln 2$. Chọn B.

Bài tập 5: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$, biết $f\left( 0 \right)=1$ và ${{\left[ {f}'\left( x \right)+2x \right]}^{2}}=9{{x}^{3}}+9x.f\left( x \right)\,\,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $f\left( 1 \right)=3.$ B. $f\left( 1 \right)=5.$ C. $f\left( 1 \right)=6.$ D. $f\left( 1 \right)=4.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\left[ {f}'\left( x \right)+2x \right]}^{2}}=9{{x}^{3}}+9x.f\left( x \right)\Leftrightarrow \frac{{{\left[ {f}'\left( x \right)+2x \right]}^{2}}}{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=9x\Leftrightarrow \frac{{f}'\left( x \right)+2x}{\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}}=3\sqrt{x}$

Lấy nguyên hàm 2 vế ta được $\int{\frac{d\left[ f\left( x \right)+{{x}^{2}} \right]}{\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}}}=\int{3\sqrt{x}dx}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=2\sqrt{{{x}^{3}}}+2C\Leftrightarrow \sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{3}}}+C$

Thay $x=0\Rightarrow C=1\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)+{{x}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{3}}}+1.$

Suy ra $f\left( x \right)={{\left( \sqrt{{{x}^{3}}}+1 \right)}^{2}}-{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3.$ Chọn A.

 

Bài tập 6: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục thỏa mãn ${{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}+f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x,\,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và

$f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1$. Giá trị của ${{f}^{2}}\left( 1 \right)$ bằng

A. 8. B. $\frac{9}{2}.$ C. 10. D. $\frac{5}{2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\left[ f\left( x \right).{f}'\left( x \right) \right]}^{\prime }}={{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}+f\left( x \right).{{f}'}'\left( x \right)=15{{x}^{4}}+12x$

Nguyên hàm 2 vế ta được $f\left( x \right).{f}'\left( x \right)=\frac{15{{x}^{5}}}{5}+6{{x}^{2}}+C=3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+C$

Do $f\left( 0 \right)={f}'\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=1$

Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: $\int{f\left( x \right)df\left( x \right)=\int{\left( 3{{x}^{5}}+6{{x}^{2}}+1 \right)}}dx$

$\Rightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{2}=\frac{3{{x}^{6}}}{6}+\frac{6{{x}^{3}}}{3}+x+D=\frac{1}{2}{{x}^{6}}+2{{x}^{3}}+x+D$. Do $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow D=\frac{1}{2}\Rightarrow {{f}^{2}}\left( 1 \right)=8$. Chọn A.

Bài tập 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục và luôn dương trên đoạn $\left[ 1;3 \right]$ thỏa mãn

$f\left( 1 \right)={f}'\left( 1 \right)=1$và ${{f}'}'\left( x \right).f\left( x \right)={{{f}'}^{2}}\left( x \right)-{{x}^{2}}.{{f}^{2}}\left( x \right)$. Giá trị của $\ln \left[ f\left( 3 \right) \right]$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau:

A. $\left( 1;6 \right).$ B. $\left( 7;12 \right).$ C. $\left( 0;1 \right).$ D. $\left( 12;15 \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{f}'}'\left( x \right).f\left( x \right)={{{f}'}^{2}}\left( x \right)-{{x}^{2}}.{{f}^{2}}\left( x \right)\Leftrightarrow {{f}'}'\left( x \right).f\left( x \right)-{{{f}'}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}{{f}^{2}}\left( x \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{{f}'}'\left( x \right).f\left( x \right)-{{{{f}'}}^{2}}\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}={{x}^{2}}\,\,\,\left( * \right)$

Mặt khác ${{\left[ \frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)} \right]}^{\prime }}=\frac{{{f}'}'\left( x \right).f\left( x \right)-{{{{f}'}}^{2}}\left( x \right)}{{{f}^{2}}\left( x \right)}$, lấy nguyên hàm 2 vế của $\left( * \right)$ ta được:

$\frac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+C$

Do $f\left( 1 \right)={f}'\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}$. Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: $\ln f\left( x \right)=\left( \frac{{{x}^{4}}}{12}+\frac{2x}{3} \right)+D$

Do $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow D=-\frac{3}{4}\Rightarrow \ln f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{12}+\frac{2x}{3}-\frac{3}{4}\Rightarrow \ln \left[ f\left( 3 \right) \right]=8$. Chọn B.

 

Bài tập 8: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn

$f\left( 1 \right)=1,\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx=\frac{9}{5}}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( \sqrt{x} \right)}dx=\frac{2}{5}$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.

A. $I=\frac{3}{5}.$ B. $I=\frac{1}{4}.$ C. $I=\frac{3}{4}.$ D. $I=\frac{1}{5}.$

Lời giải chi tiết:

Đặt $t=\sqrt{x}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x\Leftrightarrow dx=2tdt$ và $\left\{ \begin{array}  {} x=0\Rightarrow t=0 \\  {} x=1\Rightarrow t=1 \\ \end{array} \right..$

Khi đó: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( \sqrt{x} \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{2t.f\left( t \right)dt=2\int\limits_{0}^{1}{x.}}f\left( x \right)dx=\frac{2}{5}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\frac{1}{5}}.$

Đặt $\left\{ \begin{array}  {} u=f\left( x \right) \\  {} dv=xdx \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} du={f}'\left( x \right)dx \\  {} v=\frac{{{x}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{x.f\left( x \right)dx=\left. \frac{{{x}^{2}}.f\left( x \right)}{2} \right|}_{0}^{1}-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}=\frac{3}{5}.$

Xét ${{\int\limits_{0}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)+k{{x}^{2}} \right]}}^{2}}dx=\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}dx+2k}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{2}}.{f}'\left( x \right)dx}+{{k}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{4}}dx=\frac{9}{5}+\frac{6}{5}k+\frac{1}{5}{{k}^{2}}=0\Leftrightarrow k=-3.}$

Do đó ${f}'\left( x \right)-3{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=\int{{f}'\left( x \right)dx={{x}^{3}}+C}$ mà $f\left( 1 \right)=1\Rightarrow C=0.$

Vậy $f\left( x \right)={{x}^{3}}\xrightarrow{{}}I=\int\limits_{0}^{1}{{{x}^{3}}dx=\left. \frac{{{x}^{4}}}{4} \right|}_{0}^{1}=\frac{1}{4}$. Chọn B.              $$

Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và $f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=0$. Biết rằng tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)dx=\frac{1}{2},}\,\,\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right).cos\pi xdx=\frac{\pi }{2}}$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$?

A. $\frac{3\pi }{2}.$ B. $\frac{2}{\pi }.$ C. $\pi .$ D. $\frac{1}{\pi }.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( x \right).cos\pi xdx=\int\limits_{0}^{1}{\cos \pi xd\left( f\left( x \right) \right)}}=\left. f\left( x \right).cos\pi x \right|_{0}^{1}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}.{{\left( \cos \pi x \right)}^{\prime }}dx$

$=-\left[ f\left( 1 \right)+f\left( 0 \right) \right]+\pi \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}=\frac{1}{2}.$

Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)+k.\sin \pi x \right]}^{2}}}dx=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}dx+2k.\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right).sin\pi xdx}+{{k}^{2}}.\int\limits_{0}^{1}{{{\sin }^{2}}}\left( \pi x \right)dx=0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{k}^{2}}+2k.\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow {{\left( k+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow k=-1.$ Suy ra $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ f\left( x \right)-\sin \pi x \right]}^{2}}}dx=0.$

Vậy $f\left( x \right)=\sin \pi x\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=}\int\limits_{0}^{1}{sin\pi xdx}=\frac{2}{\pi }$. Chọn B.

Bài tập 10: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$, $f\left( x \right)$ và ${f}'\left( x \right)$ luôn nhận giá trị dương trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $f\left( 0 \right)=1$; $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {{f}^{2}}^{\prime }\left( x \right)f\left( x \right)+x \right]}^{2}}}dx=4\int\limits_{0}^{1}{x.}{{f}^{2}}^{\prime }\left( x \right)f\left( x \right)dx$. Tính $f\left( 1 \right)$?

A. $f\left( 1 \right)=\sqrt[3]{4}.$ B. $f\left( 1 \right)=2.$ C. $f\left( 1 \right)=1.$              D. $f\left( 1 \right)=4.$

Lời giải chi tiết:

Giả thuyết tương đương với $\int\limits_{0}^{1}{{{\left[ {{f}^{2}}'\left( x \right)f\left( x \right)-x \right]}^{2}}}dx=0$

$\Leftrightarrow {{f}^{2}}'\left( x \right)f\left( x \right)-x=0\Leftrightarrow {{f}^{2}}'\left( x \right)f\left( x \right)=x\Leftrightarrow {f}'\left( x \right).\sqrt{f\left( x \right)}=\sqrt{x}$

Nguyên hàm 2 vế ta được: $\frac{2}{3}\sqrt{{{f}^{3}}\left( x \right)}=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{3}}}+C$

Mặt khác $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow C=\frac{2}{3}\Rightarrow \sqrt{{{f}^{3}}\left( x \right)}=\sqrt{{{x}^{3}}}+1$

Vậy $f\left( 1 \right)=\sqrt[3]{4}.$ Chọn A.

 

Bài tập 11: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{1}{2} \right\}$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{2}{2x-1},\,\,f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2$. Giá trị của biểu thức $f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)$ bằng

A. $4+\ln 5.$ B. $2+\ln 15.$ C. $3+\ln 15.$ D. $\ln 15.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $\int{{f}'\left( x \right)dx=\ln \left| 2x-1 \right|+}C=\left\{ \begin{array}  {} \ln \left( 2x-1 \right)+{{C}_{1}}\text{ khi  }x>\frac{1}{2} \\  {} \ln \left( 1-2x \right)+{{C}_{2}}\text{ khi }x<\frac{1}{2} \\ \end{array} \right..$

Do $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 1 \right)=2\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{C}_{1}}=1 \\  {} {{C}_{2}}=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow f\left( -1 \right)+f\left( 3 \right)=\ln 3+\ln 5+{{C}_{1}}+{{C}_{2}}=3+\ln 15$. Chọn C.

Bài tập 12: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;2 \right\}$ và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}$; $f\left( -3 \right)=0$; $f\left( 0 \right)=1$ và $f\left( 3 \right)=2$. Tính giá trị biểu thức $P=f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)$.

A. $P=3+\ln \frac{3}{25}$ B. $P=3+\ln 3$ C. $P=2+\ln \frac{5}{3}$              D. $P=2-\ln \frac{5}{3}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{4}{{{x}^{2}}-4}\Rightarrow \int{{f}'\left( x \right)dx=\int{\frac{4dx}{{{x}^{2}}-4}}}=\int{\frac{4dx}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}=\int{\left( \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} \right)}}dx$

$\Rightarrow f\left( x \right)=\ln \left| \frac{x-2}{x+2} \right|+C=\left\{ \begin{array}  {} \ln \frac{x-2}{x+2}+{{C}_{1}}\text{     khi }x>2\text{ } \\  {} \ln \left( \frac{2-x}{x+2} \right)+{{C}_{2}}\text{  khi  }-2<x<2 \\  {} \ln \frac{x-2}{x+2}+{{C}_{3}}\text{      khi }x<-2 \\ \end{array} \right..$

Lại có: $f\left( -3 \right)=0\Rightarrow {{C}_{3}}=-\ln 5$; $f\left( 0 \right)=1\Rightarrow {{C}_{2}}=1$; $f\left( 3 \right)=2\Rightarrow {{C}_{1}}=2-\ln \frac{1}{5}$.

Do đó $P=f\left( -4 \right)+f\left( -1 \right)+f\left( 4 \right)=\ln 3+\ln 3+\ln \frac{1}{3}+{{C}_{1}}+{{C}_{2}}+{{C}_{3}}=3+\ln 3$. Chọn B.

 

Bài tập 13: Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}$. Biết $f\left( -3 \right)+f\left( 3 \right)=0$ và $f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2$. Giá trị $T=f\left( -2 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 4 \right)$bằng

A. $T=2+\frac{1}{2}\ln \frac{5}{9}.$ B. $T=1+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$ C. $T=3+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$              D. $T=\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}-1}\Rightarrow \int{{f}'\left( x \right)dx=\int{\frac{dx}{{{x}^{2}}-1}}}=\int{\frac{dx}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)}}dx$

$\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right|+C=\left\{ \begin{array}  {} \frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+{{C}_{1}}\text{     khi }x>1\text{ } \\  {} \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1-x}{x+1} \right)+{{C}_{2}}\text{  khi  }-1<x<1 \\  {} \frac{1}{2}\ln \frac{x-1}{x+1}+{{C}_{3}}\text{      khi }x<-1 \\ \end{array} \right..$

Theo bài ra ta có: $\left\{ \begin{array}  {} f\left( -3 \right)+f\left( 3 \right)=0 \\  {} f\left( -\frac{1}{2} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{C}_{1}}+{{C}_{3}}=0 \\  {} 2{{C}_{2}}=2\Rightarrow {{C}_{2}}=1 \\ \end{array} \right.$

Do đó $T=f\left( -2 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 4 \right)=\left[ f\left( -2 \right)+f\left( 4 \right) \right]+f\left( 0 \right)$

$=\frac{1}{2}\ln 3+{{C}_{1}}+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}+{{C}_{3}}+{{C}_{2}}=1+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}$. Chọn B.

 

Bài tập 14: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty  \right)$ và thỏa $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt=x.cos\pi x}$. Tính $f\left( 4 \right)$.

A. $f\left( 4 \right)=\frac{1}{2}.$ B. $f\left( 4 \right)=\frac{1}{4}.$ C. $f\left( 4 \right)=\frac{3}{4}.$              D. $f\left( 4 \right)=\sqrt[3]{12}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có ${{\left( \int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt} \right)}^{\prime }}={{\left( x.cos\pi x \right)}^{\prime }}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}.f\left( {{x}^{2}} \right)=cos\pi x-\pi x.\sin \pi x$

$\Leftrightarrow 2x.f\left( {{x}^{2}} \right)=cos\pi x-\pi x.\sin \pi x.$ Thay $x=2$ vào 2 vế, ta được $4f\left( 4 \right)=1\Leftrightarrow f\left( 4 \right)=\frac{1}{4}$. Chọn B.

 

Bài tập 15: Cho hàm số $G\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{\cos \sqrt{t}dt\,\,\left( x>0 \right)}$. Tính ${G}'\left( x \right)$.

A. ${G}'\left( x \right)={{x}^{2}}.cosx.$ B. ${G}'\left( x \right)=2x.cosx.$ C. ${G}'\left( x \right)=cosx.$              D. ${G}'\left( x \right)=cosx-1.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $F\left( t \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( t \right)=\cos \sqrt{t}.$

Ta có $G\left( x \right)=\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{\cos \sqrt{t}dt=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)\xrightarrow{{}}{G}'\left( x \right)={{\left[ F\left( {{x}^{2}} \right) \right]}^{\prime }}}=2x.{F}'\left( {{x}^{2}} \right)=2x.f\left( {{x}^{2}} \right).$

Lại có $f\left( {{x}^{2}} \right)=\cos \sqrt{{{x}^{2}}}=\cos x$ nên suy ra ${G}'\left( x \right)=2x.cosx.$ Chọn B.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12