Lập phương trình mặt cầu – Các giải tổng quát và bài tập có đáp án chi tiết

Lập phương trình mặt cầu – Các giải tổng quát và bài tập có đáp án

Phương pháp giải lập phương trình mặt cầu

· Phương trình chính tắc của mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}$

· Phương trình tổng quát của mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d$ với tâm $I\left( a;b;c \right)$ bán kính $R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d}$.

Chú ý:

- Nếu A, B thuộc mặt cầu $\left( S \right)\Rightarrow IA=IB=R$.

- Nếu $IA=IB$ thì ta có: $2.\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2}$

Chứng minh: Ta có: $IA=IB\Leftrightarrow I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\overrightarrow{IA}}^{2}}={{\overrightarrow{IB}}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OA} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{IO}.\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \right)=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2}$.

- Với bài toán: Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ta sẽ làm như sau:

Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu thì: $IA=IB=IC=ID$ khi đó $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}  {} IA=IB \\  {} IA=IC \\  {} IA=ID \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\xrightarrow{{}}$ CASIO suy ra tọa độ điểm I.

Trong đó $O\left( 0;0;0 \right)$ là gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm I.

Bài tập phương trình mặt cầu có Lời giải chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Gọi $I\left( 0;y;0 \right)$ ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 1+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+9=1+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+9\Leftrightarrow y=2\Rightarrow R=IA=\sqrt{14}$

Suy ra $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=14$.

b) Gọi $I\left( 0;0;z \right)$ ta có: $I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow 4+1+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16+1+{{\left( z+1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4z=-12\Leftrightarrow z=-3\Rightarrow I\left( 0;0;-3 \right);R=\sqrt{21}$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=21$

Lời giải chi tiết

a) Gọi $I\left( 1+t;t;2t \right)$ là tâm mặt cầu ta có:

$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{t}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}={{t}^{2}}+{{\left( t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-1 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow -12t=-12\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow R=\sqrt{11}$.

Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.

b) Gọi $I\left( 2-t;1+t;2t \right)$ là tâm mặt cầu ta có:

$I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( t+1 \right)}^{2}}+{{\left( t-5 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+1 \right)}^{2}}={{\left( t+3 \right)}^{2}}+{{\left( t-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t+3 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow -16t=0\Leftrightarrow t=0\Rightarrow I\left( 2;1;0 \right)\Rightarrow R=3\sqrt{3}$

Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=27$.

Lời giải chi tiết

Áp dụng: $IA=IB=IC=ID$thì $I\left( x;y;z \right)$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.$.

a) Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array}  {} IA=IB \\  {} IA=IC \\  {} IA=ID \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{D}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=\frac{-45}{2} \\  {} z=1 \\  {} y=3 \\ \end{array} \right.$

Phương trình mặt cầu: ${{\left( x+\frac{45}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=\frac{2421}{4}$.

b) Gọi  $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \left( 0;-3;3 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\  {} \left( -3;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\  {} \left( 0;0;-3 \right)\left( x;y;z \right)=\frac{9}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=-\frac{3}{2} \\  {} y=-\frac{3}{2} \\  {} z=-\frac{3}{2} \\ \end{array} \right.$.

Phương trình mặt cầu: ${{\left( x+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z+\frac{3}{2} \right)}^{2}}=\frac{171}{4}$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu

a) Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} x+y+z-2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( -1;0;-1 \right)\left( x;y;z \right)=-2 \\  {} \left( -1;1;0 \right)\left( x;y;z \right)=-1 \\  {} x+y+z=2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} y=0 \\  {} z=1 \\ \end{array} \right.$.

Khi đó $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$.

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} 2x+y-z+3=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( 5;-3;-4 \right)\left( x;y;z \right)=-1 \\  {} \left( -3;-4;-1 \right)\left( x;y;z \right)=2 \\  {} 2x+y-z=-3 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} y=-2 \\  {} z=3 \\ \end{array} \right.$.

Khi đó $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=49$.

Lời giải chi tiết

Giả sử mặt cầu có tâm $I\left( x;y;z \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{N}^{2}}-O{{M}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{P}^{2}}-O{{M}^{2}}}{2} \\  {} 2x+3y-z+2=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( 0;-4;-4 \right)\left( x;y;z \right)=-8 \\  {} \left( -4;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=-4 \\  {} 2x+y-z=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=2 \\  {} y=-1 \\  {} z=3 \\ \end{array} \right.$.

Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$ hay ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-6z-2=0$.

Chọn B.

Lời giải chi tiết

Gọi  $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OA}=\frac{O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( 2;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=10 \\  {} \left( 0;0;4 \right)\left( x;y;z \right)=8 \\  {} \left( -1;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=5 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} y=-2 \\  {} z=2 \\ \end{array} \right.$

Phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$ hay ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-4z=0$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là: $\left( Q \right):x+y-z-2=0$.

Gọi $d=\left( P \right)\cap \left( Q \right)\Rightarrow d\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=1-t \\  {} z=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow I\left( t;1-t;-1 \right)$.

Ta có: $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OA}=0\Leftrightarrow 3t+2-2t+3=0\Leftrightarrow t=-5\Rightarrow I\left( -5;6;-1 \right)$.

Vậy PT mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{\left( y-6 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=84$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu

Ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{OI}=\frac{O{{C}^{2}}-O{{A}^{2}}}{2} \\  {} x+y-2z+4=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left( -3;0;3 \right)\left( x;y;z \right)=3 \\  {} \left( -4;-4;0 \right)\left( x;y;z \right)=0 \\  {} x+y-2z=-4 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=1 \\  {} y=-1 \\  {} z=2 \\ \end{array} \right.$.

Khi đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=9$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có $A\in Oz\Rightarrow A\left( 0;0;a \right)$ mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow 2.0+6.0+a-3=0\Leftrightarrow a=3\Rightarrow A\left( 0;0;3 \right)$.

Lại có $d:\left\{ \begin{array}  {} x=5+t \\  {} y=2t \\  {} z=6-t \\ \end{array} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$ mà $B\in d\Rightarrow B\left( t+5;2t;6-t \right)$.

Hơn nữa $B\in \left( P \right)\Rightarrow 2\left( t+5 \right)+6.2t+\left( 6-t \right)-3=0\Leftrightarrow 13t+13=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow B\left( 4;-2;7 \right)$.

Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( 2;-1;5 \right)$.

Mặt cầu đường kính AB có bán kính $R=\frac{1}{2}AB$.

Mà $\overrightarrow{AB}=\left( 4;-2;4 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}}=6\Rightarrow R=3\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=9$.

Chọn A.