Giải bất phương trình logarit bằng cách Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá

Giải bất phương trình logarit bằng cách Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá

Các phương pháp giải bất phương trình logarit

Bài tập áp dụng các phương pháp giải bất phương trình logarit có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện $x>-1$

BPT $\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)>1\Leftrightarrow g\left( x \right)=2x+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( x+9 \right)>2$

$g'\left( x \right)=2+\frac{1}{\left( x+1 \right)\ln 2}+\frac{1}{\left( x+9 \right)\ln 3}>0\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;+\infty  \right)$

BPT $\Leftrightarrow g\left( x \right)>g\left( 0 \right)\Leftrightarrow x>0$

Vậy nghiệm của BPT là $\left( 0;+\infty  \right)$

b) Điều kiện $x>\frac{1}{2},x\ne 2$

Khi đó: BPT $\Leftrightarrow 2{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\log }_{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}>2.\frac{2x-1}{2}+{{\log }_{2}}\frac{2x-1}{2}$

Xét $f\left( t \right)=2t+{{\log }_{2}}t\left( t>0 \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$

Ta có: $f\left[ {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right]>g\left( \frac{2x-1}{2} \right)\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}>\frac{2x-1}{2}$

Đáp số: $x>\frac{5+\sqrt{7}}{2};\frac{5-\sqrt{7}}{2}>x>\frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{2}^{x}}+3 \right)+{{\log }_{3}}\left( {{4}^{x}}+2 \right)\left( x\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $f\left( 0 \right)=3$

Mặt khác $f'\left( x \right)=\frac{{{2}^{x}}}{{{2}^{x}}+3}+\frac{{{4}^{x}}\ln 4}{\left( {{4}^{x}}+2 \right)\ln 3}>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

Do đó BPT $\Leftrightarrow f\left( x \right)\le f\left( 0 \right)\Leftrightarrow x\le 0$

Vậy nghiệm của BPT là: $x\le 0$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Bất phương trình $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)-{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)\ge \left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)-\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)+\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)$

Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t,t>0$

Ta có: $f'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 2}+1>0\,\,\forall t>0$$\Rightarrow $Hàm f đồng biến trên $\left( 0;+\infty  \right)$

Do đó: $f\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)\ge f\left( 2{{x}^{2}}-3x+5 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x+2\ge 2{{x}^{2}}-3x+5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+3\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 3$

Kết hợp $x\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow x=\left\{ 1;2;3 \right\}\Rightarrow T=6$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Điều kiện $x\ge 0$.  Khi đó BPT$\Leftrightarrow 2+{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)>2\left( x-\sqrt{x} \right)+{{\log }_{2}}\left( \sqrt{x}+2 \right)$

$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( x+1 \right)-2x>{{\log }_{2}}\left[ \left( \sqrt{x}+1 \right)+1 \right]-2\left( \sqrt{x}+1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( \sqrt{x}+1 \right)$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}\left( t+1 \right)-2t$ trên $\left[ 0;+\infty  \right)$  ta có: $f'\left( t \right)=\frac{1}{\left( t+1 \right)\ln 2}-2<0,\forall t\ge 0$ vì

$\left( t+1 \right)2\ln 2>1,\forall t\ge 0$. Do đó nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;+\infty  \right)$

Khi đó BPT$\begin{array}  {}  \\  {}  \\ \end{array}$$\Leftrightarrow f\left( x \right)>f\left( \sqrt{x}+1 \right)\Leftrightarrow x<\sqrt{x}+1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} x\ge 0 \\  {} \frac{1-\sqrt{5}}{2}<\sqrt{x}<\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ 0;\frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)$

Suy ra a=0;b=3;c=5$\Rightarrow T=8$. Chọn C.