Cách Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng – Bài tập có đáp án chi tiết

Cách Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng – Bài tập có đáp án

Phương pháp viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu

· Điều kiện tiếp xúc $d\left( I;\left( P \right) \right)=R$.

· Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết

Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 1;-2;3 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 1;-2;3 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;1;1 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array}  {} x=1+3t \\  {} y=-2+t \\  {} z=3+t \\ \end{array} \right.$

Gọi $I\left( 1+3t;-2+t;3+t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left( 3t+2 \right)}^{2}}+{{\left( t-2 \right)}^{2}}+{{\left( t+2 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$.

Suy ra $I\left( -2;-3;2 \right);R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=11$.

Lời giải chi tiết

Do $\left( S \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $M\left( 2;-3;-2 \right)$ nên $IM\bot \left( P \right)\Rightarrow IM$ qua $M\left( 2;-3;-2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;3 \right)$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array}  {} x=2+t \\  {} y=-3+2t \\  {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$

Gọi $I\left( 2+t;-3+2t;-2+3t \right)$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left( t+2 \right)}^{2}}+{{\left( 2t-4 \right)}^{2}}+{{\left( 3t-4 \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left( 3;-1;1 \right);R=IA=\sqrt{14}$.

Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14$.

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.\left( -1 \right)-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$.

Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có tâm $I\left( 1;1;1 \right);\text{ }R=\sqrt{3}$.

Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left( P \right):x+y+z+m=0\text{ }\left( \text{Do }\left( P \right)//\left( \alpha  \right)\Rightarrow m\ne 0 \right)$.

Điều kiện tiếp xúc: $d\left( I;\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0\text{ }\left( loai \right) \\  {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( t;-1;-t \right)\in d$, do $\left( S \right)$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên:

$d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( Q \right) \right)=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Do $I\in d$ ta gọi $I\left( 1+3t;-1+t;t \right)$ khi đó $IA=d\left( I;\left( P \right) \right)=R$

$\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left( 11{{t}^{2}}-2t+t \right)={{\left( 5t+3 \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=0\Rightarrow R=1 \\  {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$

Do $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left( 1;-1;1 \right)\Rightarrow \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.

Chọn A.

Lời giải chi tiết

Gọi $I\left( a;b;c \right)$ ta có: $d\left( I;\left( \alpha  \right) \right)=d\left( I;\left( \beta  \right) \right)=d\left( I;\left( \gamma  \right) \right)$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$.

Do điểm $A\left( 2;-2;5 \right)$ thuộc miền $x>1;\text{ }y<-1;\text{ }z>1$ nên $I\left( a;b;c \right)$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y<-1;\text{ }z>1$.

Khi đó $I\left( R+1;-1-R;R+1 \right)$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left( {{R}^{2}}-1 \right)+{{\left( R-1 \right)}^{2}}+{{\left( R-4 \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D.