Cách Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng

Cách Tìm hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng hoặc mặt phẳng

Phương pháp xác định tọa độ hình chiếu

•  Loại 1: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng $\Delta $

Tham số hóa điểm $H\in \Delta \Rightarrow \overrightarrow{AH}$. Do $AH\bot \Delta \Rightarrow \overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0$, giải phương trình tìm giá trị của tham số, từ đó suy ra tọa độ của điểm H.

Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua đường thẳng $\Delta $ thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$.

Từ công thức trung điểm suy ra tọa độ của điểm ${A}'$.

•  Loại 2: Tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên mặt phẳng  (P)

Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}$từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d suy ra $H=d\cap \left( P \right)$.

Chú ý: Nếu ${A}'$là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P) thì H là trung điểm của $\text{A{A}'}$.

Bài tập tìm điểm trong tọa độ không gian có đáp án chi tiết

Lời giải chi tiết:

Gọi $H\left( -1+2t;-2-t;2t \right)\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\left( 2t-3;1-t;2t-1 \right)$

Cho $\overrightarrow{αH}.\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=0\Leftrightarrow \left( 2t-3;1-t;2t-1 \right).\left( 2;-1;2 \right)=0$

$\Leftrightarrow 2\left( 2t-3 \right)+\left( t-1 \right)+2\left( 2t-1 \right)=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H=\left( 1;-3;2 \right).$

Lời giải chi tiết:

PT mặt phẳng $\left( ABC \right):x+y+z-1=0$, phương trình đường thẳng qua D và vuông góc với (ABC) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;1;1 \right)\Rightarrow d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$

$\Rightarrow H=d\cap \left( ABC \right)$. Gọi $H\left( -2+t;1+t;-1+t \right)\in d$

Do $H\in \left( P \right)\Rightarrow -2+t+1+t-1+t-1=0\Leftrightarrow t=1$. Vậy $H\left( -1;2;0 \right)$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $H\left( -t;3+t;1+t \right)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -t-2;3+t;1+t \right);\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( -1;1;1 \right)$

Cho $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t+2+3+t+1+t=0\Leftrightarrow t=-2\Rightarrow H\left( 2;1;-1 \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha  \right)$là: $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-2}{1}$

$H=d\cap \left( \alpha  \right)$, gọi $H\left( 1+t;4+t;2+t \right)\in d\Rightarrow 1+t+4+t+2+t-1=0\Leftrightarrow t=-2$

$\Rightarrow H\left( -1;2;0 \right)$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng qua M vuông góc với $\left( \alpha  \right)$là: $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z}{-1}$

$H=d\cap \left( \alpha  \right)\Rightarrow H\left( 4;7;-2 \right)$ là trung điểm của $M{M}'\Rightarrow {M}'\left( 6;13;-4 \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Gọi ${A}'$là điểm đối xứng quả A qua d.

Gọi $H\left( 1+2t;-1-t;2t \right)$ ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( 2t;1-t;2t+5 \right)$

Cho $\overrightarrow{\αH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=4t+t-1+4t+10=0\Leftrightarrow t=-1\Rightarrow H\left( -1;0;-2 \right)\Rightarrow {A}'\left( -3;2;1 \right)$. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)$

Phương trình đường thẳng BC là $BC:\left\{ \begin{array}  {} x=t \\  {} y=-1+t \\  {} z=2+t \\ \end{array} \right.$.

Gọi $H\left( t;-1+t;2+t \right)\in BC$ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( t-2;t-4;t+3 \right);\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 1;1;1 \right)=0$

$\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=0\Leftrightarrow 3t-3=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow H\left( 1;0;3 \right)$. Chọn B.