Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị kết hợp với đặt ẩn phụ

Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị kết hợp với đặt ẩn phụ

Bài toán: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$. Biện luận số nghiệm của phương trình $f\left[ u\left( x \right) \right]=m$.

Phương pháp giải bài toán biện luận số nghiệm của phương trình

§ Bước 1: Đặt $t=u\left( x \right)$ ta cần xác định miền giá trị của $t$ và tương ứng với mỗi giá trị của $t$ có bao nhiêu giá trị của $x$.

(Ta có thể lập bảng biến thiên hàm số $t=u\left( x \right)$ để nhận xét và tìm miền của $t$).

§ Bước 2: Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm của phương trình $f\left( t \right)=m$ từ đó suy ra số nghiệm của phương trình $f\left[ u\left( x \right) \right]=m$.

Bài tập vận dụng khó về biện luận số nghiệm của phương trình có đáp án

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sin x$, với $x\in \left( 0;\pi  \right)\Rightarrow t\in \left( 0;1 \right]$. Khi đó $f\left( \sin x \right)=m\Leftrightarrow f\left( t \right)=m$.

Dựa vào đồ thị hàm số, để $f\left( t \right)=m$ có nghiệm thuộc $\left( 0;1 \right]$ $\Leftrightarrow -1\le m<1$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\Rightarrow {{t}^{2}}+2\sqrt{x\left( 1-x \right)}\left( t>0 \right)$

Theo bất đẳng thức Cosi ta có: $\sqrt{x\left( 1-x \right)}\le \frac{x+1-x}{2}=\frac{1}{2}$

Do đó $1\le {{t}^{2}}\le 2\Rightarrow 1\le t\le \sqrt{2}$. Vậy $x\in \left[ 0;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$

Ta có: $f\left( 1 \right)=-1,\,\,f\left( \sqrt{2} \right)=2\sqrt{2}-5$

Kết hợp đồ thị suy ra phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;\sqrt{2} \right]$ thì $m\in \left[ 2\sqrt{2}-5;-1 \right]$

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m\in \left\{ -2;-1 \right\}$ để phương trình đã cho có nghiệm. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=1-\sin x$ ta có: $\sin x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$

Ta có: $f\left( 2 \right)=-8$. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $t\in \left[ 0;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -8;1 \right]$

Vậy phương trình $-{{\left( 1-\sin x \right)}^{4}}+2{{\left( 1-\sin x \right)}^{2}}=m$ có nghiệm khi $m\in \left[ -8;1 \right]$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 9 giá trị của $m$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $t=f\left( x \right)\Rightarrow f\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} t=f\left( x \right)=a \\  {} t=f\left( x \right)=b \\  {} t=f\left( x \right)=c \\ \end{array} \right.$ dựa vào đồ thị ta có: $a\in \left( -2;-1 \right),\,\,b\in \left( 0;1 \right),\,\,c\in \left( 1;2 \right)$

Khi đó dựa vào đồ thị ta lại có phương trình $f\left( x \right)=a$ có 1 nghiệm, phương trình $f\left( x \right)=b$ và phương trình $f\left( x \right)=c$ đều có 3 nghiệm.

Do đó phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=0$ có 7 nghiệm. Chọn B.

Lời giải chi tiết

Ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {f}'\left( x \right)=0 \\  {} {f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0 \\ \end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-2 \\  {} x=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=-2,\,\,x=0$.

Lại có: ${f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} f\left( x \right)=-2 \\  {} f\left( x \right)=0 \\ \end{array} \right.$

Phương trình $f\left( x \right)=-2$ có 2 nghiệm $x=-2,\,\,x>0$ (nghiệm $x=-2$ bị lặp).

Phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm phân biệt. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy với $x\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow f\left( x \right)\in \left[ 1;2 \right]$

Đặt $t=f\left( x \right)$, xét phương trình $f\left( t \right)=m$ với $t\in \left[ 1;2 \right]$

Dựa vào đồ thị hàm số với $t\in \left[ 1;2 \right]\Rightarrow f\left( t \right)\in \left[ -7;2 \right]$

Do đó phương trình $f\left[ f\left( x \right) \right]=m$ có nghiệm $x\in \left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow m\in \left[ -7;2 \right]$

Kết hợp $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow $ có 10 giá trị của $m$. Chọn A.

Lời giải chi tiết

Ta có: $x\in \left[ -\frac{\pi }{2};0 \right)\Rightarrow \sin x\in \left[ -1;0 \right)$. Đặt $t=\sin x\Rightarrow \frac{t+1}{t-1}=m$ với $t\in \left[ -1;0 \right)$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm $t\in \left[ -1;0 \right)\Leftrightarrow m\in \left( -1;0 \right]$. Chọn D.

Lời giải chi tiết

Đặt $g\left( x \right)=f\left[ f\left( x \right) \right]$ ta có: ${g}'\left( x \right)={f}'\left( x \right).{f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {f}'\left( x \right)=0 \\  {} {f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0 \\ \end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} x=-1 \\  {} x=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow {f}'\left( x \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm 1$.

Lại có: ${f}'\left[ f\left( x \right) \right]=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} f\left( x \right)=-1 \\  {} f\left( x \right)=1 \\ \end{array} \right.$Phương trình $f\left( x \right)=-1$ có một nghiệm duy nhất

Phương trình $f\left( x \right)=1$ có 3 nghiệm phân biệt.

Do đó phương trình ${g}'\left( x \right)=0$ có 6 nghiệm phân biệt. Chọn C.