Bảng công thức Logarit công phá mọi bài toán lớp 12

Bảng công thức Logarit công phá mọi bài toán lớp 12

1. Định nghĩa: Logarit là gì?

Cho 2 số dương $a,b$ với $a\ne 1$. Số $\alpha $ thõa mãn đẳng thức ${{a}^{\alpha }}=b$ được gọi là logarit cơ số a của b kí hiệu là ${{\log }_{a}}b$. Như vậy ${{a}^{\alpha }}=b\Leftrightarrow \alpha ={{\log }_{a}}b$

Chú ý:

- Không tồn tại Logarit của số âm và số 0.

- Cho 2 số dương $a,b$ với $a\ne 1$, ta có các tính chất sau: ${{\log }_{a}}1=0;{{\log }_{a}}a=1$

2. Các công thức Logarit

• Công thức 1: ${{\log }_{a}}{{a}^{x}}=x$ với $\forall x\in \mathbb{R};1\ne a>0$

• Công thức 2: ${{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y={{\log }_{a}}\left( xy \right)$ với $x,y,a>0$và $a\ne 1$

${{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y={{\log }_{a}}\frac{x}{y}$ với $x,y,a>0$ và $a\ne 1$

Chú ý: Với $x;y<0$và $0<a\ne 1$ ta có: ${{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}\left( -x \right)+{{\log }_{a}}\left( -y \right)$

• Công thức 3: ${{\log }_{a}}{{b}^{n}}=n.{{\log }_{a}}b$ và ${{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}.{{\log }_{a}}b\left( a,b>0;a\ne 1 \right)$

Như vậy: ${{\log }_{{{a}^{m}}}}{{b}^{n}}=\frac{n}{m}.{{\log }_{a}}b$

• Công thức 4: (đổi cơ số) ${{\log }_{b}}c=\frac{{{\log }_{a}}c}{{{\log }_{a}}b}$

Cách viết khác của công thức đổi cơ số: ${{\log }_{a}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{a}}c$ với $a;b;c>0$ và $a;b\ne 1$

Hệ quả: Khi cho a = c ta có: ${{\log }_{c}}b.{{\log }_{b}}c={{\log }_{c}}c=1\Leftrightarrow {{\log }_{c}}b=\frac{1}{{{\log }_{b}}c}$ (gọi là nghịch đảo)

Tổng quát với nhiều số: ${{\log }_{{{x}_{1}}}}{{x}_{2}}.{{\log }_{{{x}_{2}}}}{{x}_{3}}......{{\log }_{{{x}_{n-1}}}}{{x}_{n}}={{\log }_{{{x}_{1}}}}{{x}_{n}}=1$ (với $1\ne {{x}_{1}};....{{x}_{n}}>0$)

• Công thức 5: ${{a}^{{{\log }_{b}}c}}={{c}^{{{\log }_{b}}a}}$ với $a;b;c>0$;$b\ne 1$

3. Logarit thập phân, logarit tự nhiên.

• Logarit thập phân: Logarit cơ số a = 10 gọi là logarit thập phân ký hiệu: $\log x(x>0)$ ($\log x$ được hiểu là ${{\log }_{10}}x$). Đọc là Lốc x.

• Logarit tự nhiên: Logarit cơ số $a=e\approx 2,712818$ gọi là logarit tự nhiên ký hiệu: $\ln x(x>0)$.Đọc là len x hoặc lốc nepe của x ($\ln x$ được hiểu là ${{\ln }_{e}}x$)