Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số - Tự Học 365

Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

Bài toán Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số

þ Tìm điểm cố định:

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ luôn đi qua.

Khi đó ${{y}_{0}}=f\left( {{x}_{0}} \right)$ biến đổi phương trình về dạng $m.\left[ g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right) \right]+h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} g\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0 \\ h\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)=0 \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Tọa độ điểm M.

þ Tìm điểm có tọa độ nguyên:

Điểm $M\left( x;y \right)\in \left( C \right):y=f\left( x \right)$ có tọa độ nguyên nếu tọa độ điểm $M\left( x;y \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} y=f\left( x \right) \\ x\in \mathbb{Z} \\ y\in \mathbb{Z} \\\end{array} \right.$

Bài tập Tìm điểm cố định và điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số có đáp án

Bài tập 1: Cho hàm số $\left( C \right):y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$. Tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là

A. $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right).$ B. $\left( 1;0 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$ C. $\left( -2;1 \right)$ và $\left( -2;3 \right).$ D. $\left( 2;1 \right)$ và $\left( 0;1 \right).$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};y{{ {} }_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định của $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \\ x_{0}^{4}-y_{0}^{2}-1=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=\pm 1 \\ y_{0}^{2}=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=-1;{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.$ Vậy tọa độ các điểm cố định thuộc đồ thị $\left( C \right)$ là $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;0 \right)$. Chọn A.

Bài tập 2: Gọi các điểm $M,N$ là các điểm cố định mà đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3mx-1\left( C \right)$ luôn đi qua. Tính độ dài $MN$.

A. $MN=1.$ B. $MN=\sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+3m{{x}_{0}}-1\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow 3m\left( x_{0}^{2}-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}+1-x_{0}^{3}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-{{x}_{0}}=0 \\ {{y}_{0}}+1=x_{0}^{3} \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1;{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=0;{{y}_{0}}=-1 \\\end{array} \right.$

Vậy $M\left( 1;0 \right),N\left( 0;-1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{2}$. Chọn B.

Bài tập 3: Cho hàm số $y=m{{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2\left( C \right)$. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho là

A. $y=-2x+2.$ B. $y=2x+2.$ C. $y=-2x-2.$ D. $y=-2x-1.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=mx_{0}^{3}-3mx_{0}^{2}+2\left( m-1 \right){{x}_{0}}+2\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}} \right)-2{{x}_{0}}+2-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+2{{x}_{0}}=0 \\ {{y}_{0}}=-2{{x}_{0}}+2 \\\end{array} \right.\left( * \right)$

Như vậy đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định là nghiệm của hệ phương trình (*) và 3 điểm này đều thuộc đường thẳng $y=-2x+2$. Chọn A.

Bài tập 4: Biết rằng đồ thị hàm số $y={{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-m-1$ luôn đi qua hai điểm cố định A và B. Tính độ dài đoạn thẳng $AB.$

A. $AB=2\sqrt{2}.$ B. $AB=2.$ C. $AB=1.$ D. $AB=4.$

Lời giải chi tiết

Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là tọa độ điểm cố định thuộc $\left( C \right)$ ta có: ${{y}_{0}}=x_{0}^{4}+mx_{0}^{2}-m-1\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)$

$\Leftrightarrow m\left( x_{0}^{2}-1 \right)+x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0\,\,\left( \forall m\in \mathbb{R} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x_{0}^{2}-1=0 \\ x_{0}^{4}-1-{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{0}}=1,{{y}_{0}}=0 \\ {{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=0 \\\end{array} \right.$

Khi đó $A\left( 1;0 \right),B\left( -1;0 \right)\Rightarrow AB=2$. Chọn B.

Bài tập 5: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ mà tọa độ là số nguyên?

A. $2.$ B. $4.$ C. $5.$ D. $6.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{2x-2}{x+1}=\frac{2\left( x+1 \right)-4}{x+1}=2-\frac{4}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$

Khi đó có 6 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$. Chọn D.

Bài tập 6: Gọi $M,N$ là hai điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}\left( C \right)$ sao cho tọa độ của chúng là những số nguyên. Tính độ dài $MN$

A. $MN=2\sqrt{2}.$ B. $MN=\sqrt{2}.$ C. $MN=2.$ D. $MN=4.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3\left( x+1 \right)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+1=$Ư$\left( 1 \right)=\left\{ \pm 1 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x+1=-1 \\ x+1=1 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-2 \\ x=0 \\\end{array} \right.$

Khi đó có 2 điểm có tọa độ nguyên thuộc $\left( C \right):y=\frac{2x-2}{x+1}$ là $M\left( -2;4 \right),N\left( 0;2 \right)$

Khi đó $MN=2\sqrt{2}$. Chọn A.

Bài tập 7: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right):y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}$ mà tọa độ là số nguyên?

A. $6.$ B. $7.$ C. $5.$ D. $8.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{{{x}^{2}}+5x+15}{x+3}=\frac{{{x}^{2}}+3x+2x+6+9}{x+3}=x+2+\frac{9}{x+3}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $x+3=$Ư$\left( 9 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3;\pm 9 \right\}\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-4 \\ x=-6 \\ x=-2 \\ x=0 \\ x=-12 \\ x=6 \\\end{array} \right.$

Từ đó suy ra có 6 điểm có tọa độ là số nguyên thuộc $\left( C \right)$. Chọn A.

Bài tập 8: Có bao nhiêu thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{3x+7}{2x-1}$ mà tọa độ là số nguyên?

A. $3.$ B. $1.$ C. $2.$ D. $4.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $y=\frac{3x+7}{2x-1}\Rightarrow 2y=\frac{6x+14}{2x-1}=\frac{3\left( 2x-1 \right)+17}{2x-1}=3+\frac{17}{2x-1}$

Điểm có tọa độ nguyên khi $x\in \mathbb{Z}$ và $2x-1=$Ư$\left( 17 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 17 \right\}$ Suy ra $\left[ \begin{array}{*{35}{l}} 2x-1=-17 \\ 2x-1=-1 \\ 2x-1=1 \\ 2x-1=17 \\\end{array} \right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} x=-8\Rightarrow y=1 \\ x=0\Rightarrow y=-7 \\ x=1\Rightarrow y=10 \\ x=9\Rightarrow y=2 \\\end{array} \right.\Rightarrow $ Có 4 điểm có tọa độ là số nguyên. Chọn D.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12