Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt - Tự Học 365

Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Các bài toán mặt cầu mẫu

R Mẫu 1: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ (tứ diện gần đều)

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Chứng minh: Gọi $M,N,O$ lần lượt là trung điểm của $AB;CD$ và $MN$

Ta có: $\Delta ACD=\Delta BDC\left( c-c-c \right)\Rightarrow DM=CM$

Khi đó $MN\bot CD,$ tương tự $MN\bot AB$ suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Ta có: ${{R}^{2}}=O{{A}^{2}}=O{{B}^{2}}=O{{M}^{2}}+A{{M}^{2}}=\frac{M{{N}^{2}}}{4}+\frac{{{a}^{2}}}{4}$

Xét $\Delta CMN$ có: $M{{N}^{2}}=C{{M}^{2}}-C{{N}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{4}-\frac{{{a}^{2}}}{4}$

$=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow {{R}^{2}}=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{8}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}.$

Vậy$R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Bài tập bài toán mặt cầu của một số tứ diện đặc biệt

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=3,AC=BD=2,AD=BC=2\sqrt{2}.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 

A. $S=\frac{21\pi }{2}.$  B. $S=\frac{19\pi }{2}.$ C. $S=9\pi .$ D. $S=4\pi .$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{21}{8}}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{21\pi }{2}.$

Chọn A.

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=a,AC=BD=AD=BC=b.$ Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 

A. $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{8}}.$ B. $R=\sqrt{\frac{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{8}}.$              C. $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{2}}.$              D. $R=\sqrt{\frac{2{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}}.$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}}{8}}.$ Chọn A.

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=AC=BD=2,AD=BC=1.$ Thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 

A. $V=\frac{9\pi }{8}.$  B. $V=\frac{9\pi \sqrt{2}}{8}.$ C. $V=\frac{2\pi }{3}.$              D. $V=\frac{9\pi \sqrt{2}}{8}.$

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhanh ta có: $R=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}=\sqrt{\frac{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}{8}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{9\pi \sqrt{2}}{8}.$

Chọn D.

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=3,AC=BD=5,AD=BC=6.$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left( 100;102 \right).$  B. $\left( 95;98 \right).$  C. $\left( 106;109 \right).$              D. $\left( 103;107 \right).$

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}{8}}=\frac{\sqrt{35}}{2}.$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{35}}{2} \right)}^{3}}=\frac{35\sqrt{35}\pi }{6}.$ Chọn C.

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=x,AC=BD=y,AD=BC=2\sqrt{3}.$ Bán kính khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng $\sqrt{2}.$ Giá trị lớn nhất của $xy$ bằng

A. 2. B. 4. C. $2\sqrt{2}.$  D. $\sqrt{2}.$

Lời giải chi tiết

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là $R=\sqrt{\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+A{{D}^{2}}}{8}}.$

Khi đó $\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}{8}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ mà $xy\le \frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{2}=\frac{4}{2}=2.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\sqrt{2}.$ Vậy ${{\left\{ xy \right\}}_{\max }}=2.$ Chọn A.

R Mẫu 2: Cho tứ diện ABCD có $AB=x;CD=y;AD=BC=AC=BD=z.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD ta có:

$\Delta DAC=\Delta DBC\Rightarrow AN=BN$ suy ra $NM$ là trung trực của AB, tương tự MN là trung trực của DC

Khi đó $I\in MN$ sao cho $ID=IA$

Lại có $AN=\sqrt{A{{D}^{2}}-D{{N}^{2}}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}$

$\Rightarrow MN=\sqrt{A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}$

Mặt khác $MN=IM+IN=\sqrt{{{R}^{2}}-A{{M}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-D{{N}^{2}}}$

$\Rightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}+\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{z}^{2}}}{4}}$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là nghiệm của phương trình:

$\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{x}^{2}}}{4}}+\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{4}-\frac{{{z}^{2}}}{4}}.$

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có $AB=2a;CD=4a,$ các cạnh còn lại đều bằng $3a.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $2a.$  B. $\frac{a\sqrt{65}}{4}.$  C. $\frac{a\sqrt{71}}{4}.$ D. $\frac{5a}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\sqrt{9{{a}^{2}}-5{{a}^{2}}}=2a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=\left( 2a-\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}-4a\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}$

Chọn B.

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có $AB=4a;CD=6a,$ các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{22}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $S=\frac{85\pi }{9}.$  B. $S=\frac{340\pi }{3}.$ C. $S=\frac{340\pi }{9}.$ D. $S=\frac{340\pi }{27}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\sqrt{22{{a}^{2}}-13{{a}^{2}}}=3a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\left( 3a-\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-4{{a}^{2}}=9{{a}^{2}}-6a\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\frac{4a}{6}\Leftrightarrow R=\frac{a\sqrt{85}}{4}\Rightarrow S=4\pi {{R}^{2}}=\frac{340\pi }{9}.$ Chọn C.

Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có $AB=2a;CD=8a,$ các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{26}.$ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $4a.$  B. $a\sqrt{14}.$  C. $a\sqrt{10}.$  D. $\frac{9a}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=\sqrt{26{{a}^{2}}-10{{a}^{2}}}=4a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}=\left( 4a-\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-{{a}^{2}}=16{{a}^{2}}-8a\sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-9{{a}^{2}}}=a\Leftrightarrow R=a\sqrt{10}.$ Chọn C.

Bài tập 4: Cho tứ diện ABCD có $AB=4a;CD=10a,$ các cạnh còn lại đều bằng $a\sqrt{78}.$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $S=30\pi {{a}^{2}}.$  B. $S=29\pi {{a}^{2}}.$ C. $S=\frac{116\pi {{a}^{2}}}{3}.$ D. $S=116\pi {{a}^{2}}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}=\sqrt{78{{a}^{2}}-29{{a}^{2}}}=7a$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-4{{a}^{2}}}=\left( 7a-\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}} \right)\Rightarrow {{R}^{2}}-4{{a}^{2}}=49{{a}^{2}}-14a\sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}+{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{R}^{2}}-25{{a}^{2}}}=2a\Leftrightarrow R=a\sqrt{29}\Rightarrow {{S}_{\left( C \right)}}=4\pi {{R}^{2}}=116\pi {{a}^{2}}.$ Chọn D.

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có $AB=2a;CD=8a,$ các cạnh còn lại đều bằng $x.$ Tìm x biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng $a\sqrt{17}$.

A. $x=a\sqrt{42}.$  B. $x=6a.$  C. $x=a\sqrt{38}.$ D. $x=a\sqrt{33}.$

Lời giải chi tiết

Ta có: $\sqrt{{{R}^{2}}-{{a}^{2}}}+\sqrt{{{R}^{2}}-16{{a}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}-17{{a}^{2}}}$

Với$R=a\sqrt{17}\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-17{{a}^{2}}}=4a+a=5a\Rightarrow {{x}^{2}}=42{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{42}.$ Chọn A...

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12