Bài toán Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông - Tự Học 365

Bài toán Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông

Bài toán Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông

Bài toán Đa diện có các đỉnh cùng nhìn một đoạn nối hai đỉnh còn lại dưới góc vuông

Phương pháp giải:

Xét đa giác $XY{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có các đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$cùng nhìn XY một góc vuông, chẳng hạn có $\widehat{{{A}_{1}}XY}=\widehat{{{A}_{2}}XY}=...=90_{{}}^{0}.$ Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp đa diện $XY{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ mặt cầu đường kính XY, tâm là trung điểm của XY và bán kính $R=\frac{XY}{2}.$

Bài tập có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC,BC=a\sqrt{3},AC=2a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a.$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{5}}{2}.$  B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{a}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Lời giải chi tiết

image10

Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \widehat{SB;(ABC)} \right)=\left( \widehat{AB;AB} \right)=\widehat{SBA}={{45}^{0}}.$

Suy ra tam giác SAB vuông cân tại $A\xrightarrow{{}}SA=AB=a.$

Ta có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.

Do đó $AB\bot BC$ mà $BC\bot SA\Leftrightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$

Khi đó, hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tính là $R=\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Chọn A.

Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC=2a$ và $SC\bot \left( ABC \right)$. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có $AB=a\sqrt{2}.$ Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua C và vuông góc với $SA,\left( \alpha  \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $D,E.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ECDAB bằng

A. $16\pi {{a}^{2}}.$  B. $4\pi {{a}^{2}}.$ C. $8\pi {{a}^{2}}.$ D. $12\pi {{a}^{2}}.$

Lời giải chi tiết

image11

Ta có $\left\{ \begin{matrix}   SC\bot AB  \\   BC\bot AB  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AB\left( SBC \right)\Rightarrow CE\bot AB$

Mà $SA\bot \left( \alpha  \right)\Rightarrow SA\bot CE$suy ra $CE\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   CE\bot SB  \\   CE\bot AE  \\\end{matrix} \right.,$

Do đó các điểm $B,D,E$ nhìn AC dưới một góc vuông

$\Rightarrow $ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là trung điểm AC

$\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=a\xrightarrow{{}}S=4\pi {{a}^{2}}.$ Chọn B.

Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,BD=a.$ Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm của OC. Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng

A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}.$ C. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}.$              D. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$

Lời giải chi tiết

image12

Gọi H là trung điểm của $OC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right),HC=\frac{OC}{2}=\frac{a}{4}$

Ta có $\widehat{SC;\left( ABCD \right)}=\left( \widehat{SC;HC} \right)=\widehat{SCH}={{60}^{0}}$

Tam giác SHC vuông tại H, có $\cos \widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}\Rightarrow SC=\frac{a}{2}$

Lại có $SH\bot OC\Rightarrow \Delta SOC$ cân tại $S\Rightarrow SO=SC=\frac{a}{2}$ 

Do đó $SO=OA=OC$ mà $OA=OB=OC=OD$

Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$

Vậy $R=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\xrightarrow{{}}V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$ Chọn D.

Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3.$ Mặt phẳng qua A và vuông góc SC với cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P.$ Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP.$

A. $V=\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}.$  B. $V=\frac{125\pi }{6}.$ C. $V=\frac{32\pi }{3}.$              D. $V=\frac{108\pi }{3}.$

Lời giải chi tiết

image13

Ta có $SC\bot \left( AMNP \right)\Rightarrow SC\bot AM$ mà $AM\bot SB$

$\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \widehat{AMC}={{90}^{0}}.$ Tương tự $\widehat{APC}={{90}^{0}}$

Mặt khác $\widehat{ANC}={{90}^{0}}$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP$ là trung điểm của AC

Suy ra $R=\frac{AC}{2}=2\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{32}{3}\pi .$ Chọn C.

Bài tập 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2},$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P.$ Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP,$ biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng $\frac{6}{\sqrt{13}}$

A. $V=3\pi .$  B. $V=\frac{8\pi }{3}.$ C. $V=\frac{9\pi }{2}.$ D. $V=\frac{4\pi }{3}.$

Lời giải chi tiết

image15

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}   BC\bot AB  \\   BC\bot SA  \\\end{matrix}\Rightarrow BC\bot AM \right.$

Mặt khác: $AM\bot SC\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MN$

Tương tự $AP\bot PN\Rightarrow $ tứ giác $AMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $AN\Rightarrow {{R}_{MNP}}={{R}_{AMNP}}=\frac{AN}{2}$

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, dựng $AE\bot SO\Rightarrow AE=\frac{6}{\sqrt{13}}$

Do đó $AO=\frac{AC}{2}=2\Rightarrow \frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow SA=3$

$\Rightarrow AN=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{12}{5}\Rightarrow {{R}_{MPN}}=\frac{6}{5};SN=\frac{S{{A}^{2}}}{SC}=\frac{9}{5}\Rightarrow {{R}_{S.MPN}}=\sqrt{R_{MNP}^{2}+\frac{S{{N}^{2}}}{4}}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow {{V}_{S.MPN}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{9\pi }{2}.$ Chọn C.

Luyện bài tập vận dụng tại đây!

TOÁN LỚP 12