Xét đa giác $XY{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ có các đỉnh ${{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{n}}$cùng nhìn XY một góc vuông, chẳng hạn có $\widehat{{{A}_{1}}XY}=\widehat{{{A}_{2}}XY}=...=90_{{}}^{0}.$ Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp đa diện $XY{{A}_{1}}{{A}_{2}}...{{A}_{n}}$ mặt cầu đường kính XY, tâm là trung điểm của XY và bán kính $R=\frac{XY}{2}.$
Bài tập 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác $ABC,BC=a\sqrt{3},AC=2a.$ Cạnh bên SA vuông góc với đáy và $SA=a.$ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ bằng
A. $\frac{a\sqrt{5}}{2}.$ B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{a}{2}.$ D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$ |
Lời giải chi tiết
Vì $SA\bot \left( ABC \right)$ nên $\left( \widehat{SB;(ABC)} \right)=\left( \widehat{AB;AB} \right)=\widehat{SBA}={{45}^{0}}.$
Suy ra tam giác SAB vuông cân tại $A\xrightarrow{{}}SA=AB=a.$
Ta có $A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại B.
Do đó $AB\bot BC$ mà $BC\bot SA\Leftrightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB$
Khi đó, hai điểm A, B cùng nhìn SC dưới một góc vuông
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp cần tính là $R=\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Chọn A.
Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC=2a$ và $SC\bot \left( ABC \right)$. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có $AB=a\sqrt{2}.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua C và vuông góc với $SA,\left( \alpha \right)$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $D,E.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ECDAB bằng
A. $16\pi {{a}^{2}}.$ B. $4\pi {{a}^{2}}.$ C. $8\pi {{a}^{2}}.$ D. $12\pi {{a}^{2}}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $\left\{ \begin{matrix} SC\bot AB \\ BC\bot AB \\\end{matrix} \right.\Rightarrow AB\left( SBC \right)\Rightarrow CE\bot AB$
Mà $SA\bot \left( \alpha \right)\Rightarrow SA\bot CE$suy ra $CE\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} CE\bot SB \\ CE\bot AE \\\end{matrix} \right.,$
Do đó các điểm $B,D,E$ nhìn AC dưới một góc vuông
$\Rightarrow $ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là trung điểm AC
$\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=\frac{AB\sqrt{2}}{2}=a\xrightarrow{{}}S=4\pi {{a}^{2}}.$ Chọn B.
Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,BD=a.$ Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy $(ABCD)$ là trung điểm của OC. Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc ${{60}^{0}}.$ Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\frac{4\pi {{a}^{3}}}{3}.$ B. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}.$ C. $\frac{2\pi {{a}^{3}}}{3}.$ D. $\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$ |
Lời giải chi tiết
Gọi H là trung điểm của $OC\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right),HC=\frac{OC}{2}=\frac{a}{4}$
Ta có $\widehat{SC;\left( ABCD \right)}=\left( \widehat{SC;HC} \right)=\widehat{SCH}={{60}^{0}}$
Tam giác SHC vuông tại H, có $\cos \widehat{SCH}=\frac{HC}{SC}\Rightarrow SC=\frac{a}{2}$
Lại có $SH\bot OC\Rightarrow \Delta SOC$ cân tại $S\Rightarrow SO=SC=\frac{a}{2}$
Do đó $SO=OA=OC$ mà $OA=OB=OC=OD$
Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
Vậy $R=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\xrightarrow{{}}V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{\pi {{a}^{3}}}{6}.$ Chọn D.
Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3.$ Mặt phẳng qua A và vuông góc SC với cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P.$ Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP.$
A. $V=\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}.$ B. $V=\frac{125\pi }{6}.$ C. $V=\frac{32\pi }{3}.$ D. $V=\frac{108\pi }{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có $SC\bot \left( AMNP \right)\Rightarrow SC\bot AM$ mà $AM\bot SB$
$\Rightarrow AM\bot MC\Rightarrow \widehat{AMC}={{90}^{0}}.$ Tương tự $\widehat{APC}={{90}^{0}}$
Mặt khác $\widehat{ANC}={{90}^{0}}$ nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP$ là trung điểm của AC
Suy ra $R=\frac{AC}{2}=2\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{32}{3}\pi .$ Chọn C.
Bài tập 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2\sqrt{2},$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P.$ Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $C.MNP,$ biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng $\frac{6}{\sqrt{13}}$
A. $V=3\pi .$ B. $V=\frac{8\pi }{3}.$ C. $V=\frac{9\pi }{2}.$ D. $V=\frac{4\pi }{3}.$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: $\left\{ \begin{matrix} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\\end{matrix}\Rightarrow BC\bot AM \right.$
Mặt khác: $AM\bot SC\Rightarrow AM\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AM\bot MN$
Tương tự $AP\bot PN\Rightarrow $ tứ giác $AMNP$ nội tiếp đường tròn đường kính $AN\Rightarrow {{R}_{MNP}}={{R}_{AMNP}}=\frac{AN}{2}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, dựng $AE\bot SO\Rightarrow AE=\frac{6}{\sqrt{13}}$
Do đó $AO=\frac{AC}{2}=2\Rightarrow \frac{1}{A{{E}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{O}^{2}}}\Rightarrow SA=3$
$\Rightarrow AN=\frac{SA.AC}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{12}{5}\Rightarrow {{R}_{MPN}}=\frac{6}{5};SN=\frac{S{{A}^{2}}}{SC}=\frac{9}{5}\Rightarrow {{R}_{S.MPN}}=\sqrt{R_{MNP}^{2}+\frac{S{{N}^{2}}}{4}}=\frac{3}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{S.MPN}}=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{9\pi }{2}.$ Chọn C.
TOÁN LỚP 12