Bài tập về tạo độ điểm và vecto trong không gian có đáp án chi tiết

Bài tập về tạo độ điểm và vecto trong không gian có đáp án chi tiết

Dưới đây là một số bài tập về tọa độ điểm vecto trong không gian bạn có thể tham khỏa

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)+\left( 0;-1;1 \right)-\left( 1;5;2 \right)=\left( 0;-4;2 \right)$

$\overrightarrow{v}=2\left( 1;2;3 \right)+3\left( 0;-1;1 \right)+\left( 1;5;2 \right)=\left( 2;4;6 \right)+\left( 0;-3;3 \right)+\left( 1;5;2 \right)=\left( 3;6;11 \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow{a}\,.\,\overrightarrow{b}=0-2+3=1;\,\,\overrightarrow{b}.\,\overrightarrow{c}=-3;\overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{c}=17.$

c) $\cos \left( \overrightarrow{a}\,;\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}\,.\,\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}=\frac{1}{\sqrt{1+4+9}.\sqrt{0+1+1}}=\frac{1}{2\sqrt{7}}\,;\,\,\cos \left( \overrightarrow{b};\overrightarrow{c} \right)=\frac{\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}}{\left| \overrightarrow{b} \right|.\left| \overrightarrow{c} \right|}=\frac{-3}{\sqrt{2}.\sqrt{30}}=\frac{-3}{2\sqrt{15}}.$

Lời giải chi tiết:

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có: $\left\{ \begin{array}  {} {{\text{x}}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=1 \\  {} {{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=2 \\  {} {{z}_{G}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3}=1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow G\left( 1;2;1 \right).$

b) Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left( 2;0;2 \right)=\left( 1-{{x}_{D}};4-{{y}_{D}};5-{{z}_{D}} \right)\Rightarrow D\left( -1;4;3 \right)$.

c) Ta có: $\overrightarrow{BA}=\left( -2;0;-2 \right);\,\,\overrightarrow{BC}=\left( -1;3;5 \right)$

Suy ra $\cos \widehat{ABC}=\cos \left( \overrightarrow{BA};\overrightarrow{BC} \right)=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC}=\frac{2-10}{\sqrt{4+4}.\sqrt{1+9+25}}=\frac{-4}{\sqrt{70}}.$

d) Do điểm $M\in \text{Ox}$ nên ta gọi $M\left( x;0;0 \right)$ ta có $MB=MC\Leftrightarrow M{{B}^{2}}=M{{C}^{2}}$.

$\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{0}^{2}}={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4\text{x}+5={{x}^{2}}-2\text{x}+42\Leftrightarrow x=\frac{-37}{2}.$

Vậy $M\left( -\frac{37}{2};0;0 \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{u}=\left( 2;-5;3 \right)-4\left( 0;2;-1 \right)-2\left( 1;7;2 \right)=\left( 2;-5;3 \right)-\left( 0;8;-4 \right)-\left( 2;14;4 \right)=\left( 0;-27;3 \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow{d}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}+p.\overrightarrow{c}\Leftrightarrow \left( 0;-17;-2 \right)=m\left( 2;-5;3 \right)+n\left( 0;2;-1 \right)+p\left( 1;7;2 \right)$.

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} 2m+p=0 \\  {} -5m+2n+7p=-17 \\  {} 3m-n+2p=-2 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m=1 \\  {} n=1 \\  {} p=-2 \\ \end{array} \right..$

Lời giải chi tiết:

Để $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương thì $\overrightarrow{u}=k.\overrightarrow{v}\Leftrightarrow \left( x\,;\,\,2\text{x}-3\,;\,\,2 \right)=k\left( y\,;\,\,-4\,;\,\,8 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} x=ky \\  {} 2\text{x}-3=-4k \\  {} 2=8k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \text{x}=\frac{1}{4}y \\  {} 2\text{x}-3=-1 \\  {} k=\frac{1}{4} \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} k=\frac{1}{4} \\  {} x=1 \\  {} y=4 \\ \end{array} \right..$

Vậy $\text{x}=1\,;\,\,y=4.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left( 1;2;1 \right)\,;\,\,\overrightarrow{AC}=\left( x-2;y-5;3 \right)$.

Để A, B, C thẳng hàng thì $\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \text{x}-2=k \\  {} y-5=2k \\  {} 3=k \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} k=3 \\  {} x=5 \\  {} y=11 \\ \end{array} \right.$

Vậy $\text{x}=5;\,\,y=11.$

Lời giải chi tiết:

Để $\overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow 3+{{\log }_{3}}5.{{\log }_{5}}3+4m=0\Leftrightarrow 3+1+4m=0\Leftrightarrow m=-1.$

Lời giải chi tiết:

a) Vì $\overrightarrow{b}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{b}=k.\,\overrightarrow{a}=\left( 2\sqrt{2}.k\,;-k\,;4k \right)$

Lại có: $\left| \overrightarrow{b} \right|=10\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 2k\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{\left( -k \right)}^{2}}+16{{k}^{2}}}=\sqrt{25{{k}^{2}}}=10\Leftrightarrow {{k}^{2}}=4\Leftrightarrow k=\pm 2.$

Do đó $\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{a}=\left( 4\sqrt{2}\,;-2\,;8 \right)$ hoặc $\overrightarrow{b}=-2.\,\overrightarrow{a}=\left( -4\sqrt{2}\,;\,2\,;\,-8 \right)$

b) Vì $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$ nên $\overrightarrow{c}=k.\,\overrightarrow{a}=\left( 2\sqrt{2}\,.\,k\,;\,-k;\,4k \right)$

Khi đó $\overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{c}=8k+k+16k=25k=100\Leftrightarrow k=4\Rightarrow \overrightarrow{c}=\left( 8\sqrt{2}\,;\,-4\,;\,16 \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+2\overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{b}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4+2\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos 120{}^\circ +9=13+12\cos 120{}^\circ =7$

Do đó $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{7}$.

Lại có: ${{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-4\overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{b}+4{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4-4\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\cos 120{}^\circ +4.9=40-24\cos 120{}^\circ =52.$

Do đó: $\left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{52}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{u}=\left( 1;m+1;2 \right)$ suy ra $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=0 \\  {} m=-2 \\ \end{array} \right..$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}} \right)$. Khi đó: $\left\{ \begin{array}  {} {{x}_{C}}=3.1-1-2=0 \\  {} {{y}_{C}}=3.\left( -2 \right)+1-1=-6 \\  {} {{z}_{C}}=3.\left( -3 \right)+2+3=-4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow C\left( 0;-6;-4 \right).$ Chọn B.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}=\left( 2k;-k;0 \right)\,\,\left( k>0 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{b} \right|=\left| 4k+k \right|=10\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} k=2 \\  {} k=-2\,\,\left( L \right) \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{b}=\left( 4;-2;0 \right)$. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow \left( 1;-3;4 \right)=\left( -3-{{x}_{D}};5-{{y}_{D}};1-{{z}_{D}} \right)$.

$\Rightarrow D\left( -4;8;-3 \right)$. Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow{a}.\,\overrightarrow{b}=2-2+0=0\Rightarrow \overrightarrow{a}\bot \overrightarrow{b}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ đúng.

+) $\overrightarrow{b}.\,\overrightarrow{c}=4+4-3=5\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ đúng.

+) $\frac{2}{4}\ne -\frac{1}{2}\Rightarrow \overrightarrow{a}$ không cùng phương với $\overrightarrow{c}\,\,\,\left( 3 \right)$ sai.

+) $\left| \overrightarrow{b} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{14}\Rightarrow \left( 4 \right)$ đúng. Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $M\left( a;b;c \right)$. Ta có: $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{BM}\Leftrightarrow \left( a-2;b-1;c-1 \right)=2\left( a+1;b-2;c-3 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a-2=2\left( a+1 \right) \\  {} b-1=2\left( b-2 \right) \\  {} c-1=2\left( c-3 \right) \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a=-4 \\  {} b=3 \\  {} c=5 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M\left( -4;3;5 \right).$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{MN}\left( 2;3;1 \right);\,\,\overrightarrow{MP}\left( 6;9;3 \right)$ suy ra $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{MN}$ nên M, N, P thẳng hàng suy ra khẳng định D sai. Các khẳng định còn lại đều đúng. Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Giả sử $C\left( a;b;c \right)$. Vì G là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $\left\{ \begin{array}  {} a=3.2-1-3=2 \\  {} b=3.2-2-0=4 \\  {} c=3.2-\left( -1 \right)-3=4 \\ \end{array} \right.\Rightarrow G\left( 2;4;4 \right).$ Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}  {} \overrightarrow{A{A}'}=\overrightarrow{D{D}'}\left( 0;0;-3 \right)\Rightarrow {A}'\left( 0;0;-3 \right) \\  {} \overrightarrow{AB}\left( 3;0;0 \right)=\overrightarrow{{A}'{B}'}\Rightarrow {B}'\left( 3;0;-3 \right) \\  {} \overrightarrow{AB}\left( 3;0;0 \right)=\overrightarrow{DC}\Rightarrow C\left( 3;3;0 \right) \\ \end{array} \right.\xrightarrow{\,}G\left( 2;1;-2 \right).$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\alpha $ là góc giữa hai vectơ. Ta có:

$\cos \alpha =\frac{1.\left( -1 \right)+2\left( -1 \right)+\left( -2 \right).0}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha =-135{}^\circ .$ Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{BC}=2\left( -3;1;1 \right)\Rightarrow M\left( 7;-3;1 \right)$

Suy ra $T=a-b+c=11.$ Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow{NM}\left( 3;2;-2 \right),\,\,\overrightarrow{NP}\left( 2;m-2;1 \right)$. Để tam giác MNP vuông tại N thì

$\overrightarrow{NM}.\overrightarrow{NP}=0\Leftrightarrow 3.2+2\left( m-2 \right)+\left( -2 \right).1=0\Leftrightarrow m=0.$&n